Problema 407

Sea r la recta que pasa por los puntos P_1(3,2,0) y P_2(7,0,2). Se pide:

a) Hallar la distancia del punto Q(3,5,-3) a la recta r.
b) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano perpendicular a r que pasa por el punto Q.


Solución:

a) Hallar la distancia del punto Q(3,5,-3) a la recta r.

La distancia de un punto Q a la recta es r:

d(Q,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{QP_1}|}{|\vec v_r|}

donde

\overrightarrow{QP_1}=(3,2,0)-(3,5,-3)=(0,-3,3)\\\\\vec v_r=\overrightarrow{P_1P_2}=(7,0,2)-(3,2,0)=(4,-2,2)

\vec v_r\times\overrightarrow{QP_1}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&-3&3\\4&-2&2\end{vmatrix}=-6\vec\imath+12\vec\jmath+12\vec k+6\vec\imath=(0,12,12)

Luego

d(Q,r)=\dfrac{\sqrt{0^2+12^2+12^2}}{\sqrt{4^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{\sqrt{288}}{\sqrt{24}}=\sqrt{12}=2\sqrt 3\mbox{ u.l.}


b) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano perpendicular a r que pasa por el punto Q.

Dado que \vec v_r=(4,-2,2), el plano perpendicular a r tiene la forma 4x-2y+2z+D=0

Imponemos que dicho plano pase por Q(3,5,-3):

4\cdot 3-2\cdot 5+2\cdot(-3)+D=0~;\\\\12-10-6+D=0~;\\\\D=4

luego el plano es: 4x-2y+2z+4=0

Escribimos la recta r en paramétricas sabiendo que pasa por P_1 y tiene vector director \vec v_r:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=3+4\lambda\\y=2-2\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de r en la implícita del plano y resolvemos:

4(3+4\lambda)-2(2-2\lambda)+2(2\lambda)+4=0~;\\\\12+16\lambda-4+4\lambda+4\lambda+4=0~;\\\\12+24\lambda=0~;\\\\\lambda=\dfrac{-1}2

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de r y ya tenemos el punto donde se cortan recta y plano:

(x,y,z)=(1,3,-1)

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