Problema 407

📖Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat IIgeometría, rectas y planos, selectividaddurán

Sea r la recta que pasa por los puntos $P_1(3,2,0)$ y $P_2(7,0,2)$ . Se pide:

a) Hallar la distancia del punto Q(3,5,-3) a la recta r.
b) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano perpendicular a r que pasa por el punto Q.

Solución:

a) Hallar la distancia del punto Q(3,5,-3) a la recta r.

La distancia de un punto Q a la recta es r:

$d(Q,r)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{QP_1}|}{|\vec v_r|}$

donde

$\overrightarrow{QP_1}=(3,2,0)-(3,5,-3)=(0,-3,3)\\\\\vec v_r=\overrightarrow{P_1P_2}=(7,0,2)-(3,2,0)=(4,-2,2)$

$\vec v_r\times\overrightarrow{QP_1}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&-3&3\\4&-2&2\end{vmatrix}=-6\vec\imath+12\vec\jmath+12\vec k+6\vec\imath=(0,12,12)$

Luego

$d(Q,r)=\dfrac{\sqrt{0^2+12^2+12^2}}{\sqrt{4^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{\sqrt{288}}{\sqrt{24}}=\sqrt{12}=2\sqrt 3\mbox{ u.l.}$

b) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano perpendicular a r que pasa por el punto Q.

Dado que $\vec v_r=(4,-2,2)$ , el plano perpendicular a r tiene la forma $4x-2y+2z+D=0$

Imponemos que dicho plano pase por Q(3,5,-3):

$4\cdot 3-2\cdot 5+2\cdot(-3)+D=0~;\\\\12-10-6+D=0~;\\\\D=4$

luego el plano es: $4x-2y+2z+4=0$

Escribimos la recta r en paramétricas sabiendo que pasa por $P_1$ y tiene vector director $\vec v_r$ :

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=3+4\lambda\\y=2-2\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.$

Sustituimos las paramétricas de r en la implícita del plano y resolvemos:

$4(3+4\lambda)-2(2-2\lambda)+2(2\lambda)+4=0~;\\\\12+16\lambda-4+4\lambda+4\lambda+4=0~;\\\\12+24\lambda=0~;\\\\\lambda=\dfrac{-1}2$

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de r y ya tenemos el punto donde se cortan recta y plano:

$(x,y,z)=(1,3,-1)$

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