Problema 408

Se considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,3,-1), B(3,1,0) y C(2,5,1) y se pide:

a) Determinar razonadamente si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno.
b) Obtener las medidas de sus tres ángulos.


Solución:

a) Determinar razonadamente si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno.

triánguloVeamos cuanto mide cada lado:

\overrightarrow{AB}=(3,1,0)-(1,3,-1)=(2,-2,1)\\\overline{AB}=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3\\\\\overrightarrow{AC}=(2,5,1)-(1,3,-1)=(1,2,2)\\\overline{AC}=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3\\\\\overrightarrow{BC}=(2,5,1)-(3,1,0)=(-1,4,1)\\\overline{BC}=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-1)^2+4^2+1^2}=3\sqrt 2

Tiene dos lados iguales y uno desigual: se trata de un triángulo isósceles.


b) Obtener las medidas de sus tres ángulos.

El ángulo α que forma el lado \overline{AB} con \overline{AC} en el vértice A es:

\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{(2,-2,1)\cdot(1,2,2)}{3\cdot 3}=\dfrac{2-4+2}{9}=0\\\\\alpha=\arccos 0=90^\circ

El ángulo β que se forma en el vértice B es:

\cos\beta=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{(-2,2,-1)\cdot(-1,4,1)}{3\cdot 3\sqrt 2}=\dfrac{2+8-1}{9\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}2\\\\\beta=\arccos\dfrac{\sqrt 2}2=45^\circ

El ángulo γ que se forma en el vértice C es:

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ~;\\\\\gamma=180^\circ-90^\circ-45^\circ~;\\\\\gamma=45^\circ

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s