Problema 409

Sean las matrices

M=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\t&2\end{pmatrix}\qquad N=\begin{pmatrix}-1&t&2\\1&0&-1\end{pmatrix}

a) Calcular M·N y comprobar que la matriz resultante no es invertible.
b) Encuentra los valores de t para los que la matriz N·M es invertible.


Solución:

a) Calcular M·N y comprobar que la matriz resultante no es invertible.

M\cdot N=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\t&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&t&2\\1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&t&0\\-1&0&1\\2-t&t^2&2t+1\end{pmatrix}

Esta matriz será invertible para aquellos valore de t que haga su determinante distinto de 0:

\begin{vmatrix}1&t&0\\-1&0&1\\2-t&t^2&2t+1\end{vmatrix}=t(2-t)+t(2t-2)-t^2=2t-t^2+2t^2-2t-t^2=0

El determinante vale 0 para todo valor de t, por lo que esta matriz nunca es invertible.


b) Encuentra los valores de t para los que la matriz N·M es invertible.

N\cdot M=\begin{pmatrix}-1&t&2\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\t&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2t-1&2-t\\1-t&0\end{pmatrix}

Calculamos su determinante:

\begin{vmatrix}2t-1&2-t\\1-t&0\end{vmatrix}=-(1-t)(2-t)=2t-t^2-2+t=-t^2+3t-2

Determinante que vale 0 si t=1 o t=2. Por tanto, esta matriz es invertible para todo t≠1 y t≠2.

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