Problema 410

Sea r la recta que pasa por los puntos A=(0,1,1) y B=(1,1,-1).

a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r.
b) Calcular todos los puntos de la recta r que están a la misma distancia de los planos \pi_1:~x+y=-2\mbox{ y }\pi_2:~x-z=1.


Solución:

a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r.

La recta r está definida por un punto, A=(0,1,1), y el vector director,

\vec v_r=\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)-(0,1,1)=(1,0,-2)

Luego las ecuaciones paramétricas de r son:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1\\z=1-2\lambda\end{array}\right.


b) Calcular todos los puntos de la recta r que están a la misma distancia de los planos \pi_1:~x+y=-2\mbox{ y }\pi_2:~x-z=1.

La distancia de un punto P=(x_0,y_0,z_0) a un plano \pi:~Ax+By+Cz+D=0 es:

\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

En nuestros caso, el punto P ha de pertenecer a r, luego P es de la forma

P=(\lambda,1,1-2\lambda)

Calculamos la distancia de P a \pi_1, y de P a \pi_2:

d(P,\pi_1)=\dfrac{|\lambda+1+2|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{|\lambda+3|}{\sqrt 2}\\\\d(P,\pi_2)=\dfrac{|\lambda-(1-2\lambda)-1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{|3\lambda-2|}{\sqrt 2}

Igualamos ambas distancias y resolvemos:

\dfrac{|\lambda+3|}{\sqrt 2}=\dfrac{|3\lambda-2|}{\sqrt 2}\\\\|\lambda+3|=|3\lambda-2|

\bullet~\lambda+3=3\lambda-2\\~~~2\lambda=5\\~~~\lambda=\dfrac 52\\\\\bullet~-\lambda-3=3\lambda-2\\~~~4\lambda=-1\\~~~\lambda=\dfrac{-1}4

Para cada valor de λ se obtiene un punto P que equidista de los planos \pi_1\mbox{ y }\pi_2:

\bullet~\lambda=\dfrac 52\longrightarrow P_1=(\frac 52,1,-4)\\\\\bullet~\lambda=\dfrac{-1}4\longrightarrow P_2=(\frac{-1}4,1,\frac 32)

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