Problema 410

Sea r la recta que pasa por los puntos A=(0,1,1) y B=(1,1,-1).

a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r.
b) Calcular todos los puntos de la recta r que están a la misma distancia de los planos $\pi_1:~x+y=-2\mbox{ y }\pi_2:~x-z=1.$

Solución:

a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r.

La recta r está definida por un punto, A=(0,1,1), y el vector director,

$\vec v_r=\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)-(0,1,1)=(1,0,-2)$

Luego las ecuaciones paramétricas de r son:

$r:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1\\z=1-2\lambda\end{array}\right.$

b) Calcular todos los puntos de la recta r que están a la misma distancia de los planos $\pi_1:~x+y=-2\mbox{ y }\pi_2:~x-z=1.$

La distancia de un punto $P=(x_0,y_0,z_0)$ a un plano $\pi:~Ax+By+Cz+D=0$ es:

$\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

En nuestros caso, el punto P ha de pertenecer a r, luego P es de la forma

$P=(\lambda,1,1-2\lambda)$

Calculamos la distancia de P a $\pi_1$ , y de P a $\pi_2$ :

$d(P,\pi_1)=\dfrac{|\lambda+1+2|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{|\lambda+3|}{\sqrt 2}\\\\d(P,\pi_2)=\dfrac{|\lambda-(1-2\lambda)-1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\dfrac{|3\lambda-2|}{\sqrt 2}$