Problema 411

Sea la función f(x)=x^3-x^2.

a) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica que es paralela a la recta de ecuación x+3y=0.
b) Calcular, si existen, los puntos de la gráfica en que la función presenta un máximo o un mínimo relativo así como los puntos de inflexión.


Solución:

a) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica que es paralela a la recta de ecuación x+3y=0.

La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Queremos que nuestra recta tangente sea paralela a la recta x+3y=0, que en forma explícita es y=\frac{-1}3x, y cuya pendiente es \frac{-1}3, por tanto, f'(x_0)=\frac{-1}3.
A partir de este dato, calculamos x_0:

f(x)=x^3-x^2\\\\f'(x)=3x^2-2x\\\\3x^2-2x=\dfrac{-1}3~;\\\\9x^2-6x+1=0

ecuación de segundo grado cuya única solución es x_0=\dfrac 13.
Solo nos queda calcular f(x_0)=f(\frac 13)=\dfrac{-2}{27} y sustituir en la ecuación de la recta tangente:

y-\dfrac{-2}{27}=\dfrac{-1}3(x-\frac 13)\\\\y=-\dfrac x3+\dfrac1{27}


b) Calcular, si existen, los puntos de la gráfica en que la función presenta un máximo o un mínimo relativo así como los puntos de inflexión.

Los máximos y los mínimo pueden presentarse en los puntos críticos. Calculamos dichos puntos:

f'(x)=3x^2-2x=0~;\\\\x(3x-2)=0

luego los puntos críticos son: x=0\mbox{ y }x=\frac 23.
Para ver si se tratan de máximos o mínimos utilizamos el test de la segunda derivada:

f''(x)=6x-2\\\\\bullet~f''(0)=-2\\\bullet f''(\frac 23)=2

Por tanto, tenemos un máximo en (0,f(0))=(0,0) y un mínimo en (\frac 23,f(\frac 23))=(\frac 23,\frac{-4}{27}).

También nos piden los puntos de inflexión:

f''(x)=6x-2=0~;\\\\x=\dfrac 13

Luego el punto de inflexión es (\frac 13,f(\frac 13))=(\frac 13,\frac{-2}{27}).

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