Problema 412

Considerar los puntos P=(3,-2,1), Q=(5,0,3), R=(1,2,3) y la recta

r:~\left\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\2y+3z-5=0\end{array}\right.

a) Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos P y Q y que es paralelo a la recta r.
b) Dado el plano x+2y+mz=7 y el plano que pasa por P, Q y R, encontrar m para que ambos planos sean paralelos y no coincidentes.


Solución:

a) Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos P y Q y que es paralelo a la recta r.

Escribimos la recta r en forma paramétricas según se explica aquí haciendo x=λ:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-1-\lambda\\z=\dfrac{7+2\lambda}3\end{array}\right.

La recta r pasa por el punto P_r=(0,-1,\frac 73) y tiene vector director paralelo a (1,-1,\frac 23), por ejemplo \vec v_r=(3,-3,2).

El plano buscado es de la forma \pi:~\left\{\begin{array}{l}P\\\overrightarrow{PQ}\\\vec v_r\end{array}\right.

\overrightarrow{PQ}=(5,0,3)-(3,-2,1)=(2,2,2)

Construimos la ecuación del plano π:

\begin{vmatrix}x-3&y+2&z-1\\2&2&2\\3&-3&2\end{vmatrix}=4(x-3)+6(y+2)-6(z-1)+6(x-3)-4(y+2)-6(z-1)=10(x-3)+2(y+2)-12(z-1))=10x+2y-12z-14

El plano buscado es 10x+2y-12z-14=0, o simplificando \pi:~5x+y-6z-7=0.


b) Dado el plano x+2y+mz=7 y el plano que pasa por P, Q y R, encontrar m para que ambos planos sean paralelos y no coincidentes.

Primero calculamos el plano α que pasa por P, Q y R: \alpha:~\left\{\begin{array}{l}P\\\overrightarrow{PQ}\\\overrightarrow{PR}\end{array}\right.:

\overrightarrow{PR}=(1,2,3)-(3,-2,1)=(-2,4,2)

Construimos la ecuación del plano α:

\begin{vmatrix}x-3&y+2&z-1\\2&2&2\\-2&4&2\end{vmatrix}=4\begin{vmatrix}x-3&y+2&z-1\\1&1&1\\-1&2&1\end{vmatrix}=4[x-3-(y+2)+2(z-1)-2(x-3)-(y+2)+z-1]=-(x-3)-2(y+2)+3(z-1)=4[-x-2y+3z-2]

Luego el plano α es \alpha:~-x-2y+3z-2=0 cuyo vector normal es (-1,-2,3).

Queremos que α sea paralelo a x+2y+mz=7 cuyo vector normal es (1,2,m).

Para que ambos planos sean paralelos, sus vectores normales también lo tienen que ser, por tanto ha de ser:

\dfrac{-1}1=\dfrac{-2}2=\dfrac 3m

de donde

-1=\dfrac 3m~;\\\\\mathbf{m=-3}

Además son paralelos y no coincidentes ya que con m=-3 se tiene:

\dfrac{-1}1=\dfrac{-2}2=\dfrac 3{-3}\neq\dfrac 27

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