Problema 413

Sea la función f(x)=\sqrt x+x-2.

a) Comprobar que la función f cumple el teorema de Bolzano en el intervalo [0,2] y que, por tanto, la ecuación f(x)=0 tiene alguna solución en el intervalo (0,2).
Comprobar que x=1 es una solución de la ecuación f(x)=0 y razonar, teniendo en cuenta el signo de f´, que la solución es única.
b) A partir del resultado final del apartado anterior, encontrar el área limitada por la gráfica de la función f, el eje de abscisas y las rectas x=0 y x=1.


Solución:

a) Esta función cumple las condiciones del teorema de Bolzano puesto que es continua en el intervalo [0,2] ya que es suma de dos funciones continuas en dicho intervalo. Además se cumple que f(0)=-2 y f(2)=\sqrt 2, por lo que f(0)\cdot f(2)<0.
Luego se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano y podemos concluir que existe un valor c\in (0,2) tal que f(c)=0.

Se comprueba que x=1 es una solución ya que f(1)=\sqrt 1+1-2=0.

Esta solución será única si la función es estrictamente creciente en el intervalo (0,2). Estudiamos la monotonía de f:

f'(x)=\dfrac 1{2\sqrt x}+1

Observamos que la función derivada es positiva para todo x∈(0,2), luego f es estrictamente creciente en ese intervalo y en x=1 se da la única solución a la ecuación f(x)=0.


b) El área buscada es

\displaystyle S=\left|\int_0^1\sqrt x+x-2~dx\right|=\left|\dfrac{x^{3/2}}{3/2}+\dfrac{x^2}2-2x\right|_0^1=\\\\=\left|\left(\dfrac 1{3/2}+\dfrac 12-2\right)-(0)\right|=\\\\=\left|\dfrac{-5}6\right|=\dfrac 56\mbox{ u.a.}

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