Problema 414

Unos estudiantes de bachillerato han programado una hoja de cálculo como la de la figura siguiente que aporta la solución de un sistema de ecuaciones compatible determinado de manera automática:

p414

a) Escribir el sistema y comprobar que los valores propuestos como solución son correctos.
b) ¿Qué valor habría que poner en lugar del 2 que están enmarcado en la imagen, correspondiente a la celda E8, para que el sistema fuera incompatible?


Solución:

a) Escribir el sistema y comprobar que los valores propuestos como solución son correctos.

\left\{\begin{array}{l}x+2y-z=-6\\x-y-2z=-3\\2x+y+2z=6\end{array}\right.

Para comprobar que los datos aportados por la hoja de cálculo es solución del sistema solo hay que sustituir dichos valores en el sistema y ver si se verifica:

\left\{\begin{array}{l}1+2\cdot(-2)-3=-6\\1-(-2)-2\cdot 3=-3\\2\cdot 1+(-2)+2\cdot 3=6\end{array}\right.

Luego la solución aportada (x,y,z)=(1,-2,3) es correcta.


b) ¿Qué valor habría que poner en lugar del 2 que están enmarcado en la imagen, correspondiente a la celda E8, para que el sistema fuera incompatible?

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, para que un sistema de ecuaciones sea incompatible el rango de la matriz de coeficientes ha de ser menor que el rango de la matriz ampliada.
La matriz ampliada es una matriz 3×4, M^*=\begin{pmatrix}1&2&-1&-6\\1&-1&-2&-3\\2&1&2&6\end{pmatrix} cuyo rango como máximo podría ser 3.
Veamos cual es el rango de la matriz de coeficientes en función de un parámetro m colocado en la celda E8:

M=\begin{pmatrix}1&2&-1\\1&-1&-2\\2&1&m\end{pmatrix}

|M|=-m-8-1-2-2m+2=-3m-9=0~;\\\\m=-3

Es decir:

  • Si m≠-3, rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema sería compatible determinado. No es la solución que nos piden.
  • Si m=-3, rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}=-3\neq0
    Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&2&-6\\1&-1&-3\\2&1&6\end{vmatrix}=-6-12-6-12-12+3=-45
    Por lo que el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible.

Luego, el valor que tenemos que colocar en la celda E8 es -3.

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