Problema 415

Considerar el sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{l}6x+3y+2z=5\\3x+4y+6z=3\\x+3y+2z=m\end{array}\right.

con m\in\mathbb R.

a) Explicar razonadamente para qué valor del parámetro m el sistema tiene solución única.
b) Resolver el sistema.


Solución:

a) Explicar razonadamente para qué valor del parámetro m el sistema tiene solución única.

Para que el sistema tenga solución única, el sistema ha de ser compatible determinado según el teorema de Rouché-Fröbenius.

Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}6&3&2\\3&4&6\\1&3&2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}6&3&2&5\\3&4&6&3\\1&3&2&m\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}6&3&2\\3&4&6\\1&3&2\end{vmatrix}=48+18+18-8-18-108=-50

Por tanto, el rango de M es 3 para todo valor del parámetro m. El rango de M* es también 3 y el número de incógnitas o variables, n, también es 3. Es decir, el sistema tiene solución única para cualquier valor de m.


b) Resolver el sistema.

Utilizaremos la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}5&3&2\\3&4&6\\m&3&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}6&3&2\\3&4&6\\1&3&2\end{vmatrix}}=\dfrac{40+18m+18-8m-18-90}{-50}=\dfrac{10m-50}{-50}=\dfrac{5-m}5

y=\dfrac{\begin{vmatrix}6&5&2\\3&3&6\\1&m&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}6&3&2\\3&4&6\\1&3&2\end{vmatrix}}=\dfrac{36+30+6m-6-30-36m}{-50}=\dfrac{30-30m}{-50}=\dfrac{3m-3}5

z=\dfrac{\begin{vmatrix}6&3&5\\3&4&3\\1&3&m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}6&3&2\\3&4&6\\1&3&2\end{vmatrix}}=\dfrac{24m+9+45-20-9m-54}{-50}=\dfrac{15m-20}{-50}=\dfrac{4-3m}{10}

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