Problema 416

Sea el plano de ecuación \pi:~x+y-z=0 y el punto P=(2,3,2).

a) Calcular el punto simétrico del punto P respecto del plano π.
b) Calcular la ecuación general de los dos planos paralelos a π que están a una distancia \sqrt 3 del punto P.


Solución:

a) Calcular el punto simétrico del punto P respecto del plano π.

p120

En primer lugar, calculamos un recta r perpendicular a π que pase por el punto P.
Por ser perpendicular al plano, el vector director de la recta será el vector normal del plano: \vec v_r=\vec n_\pi=(1,1,-1), y sabiendo que la recta pasa por P, ya tenemos las paramétricas de r:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda\\y=3+\lambda\\z=2-\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto M donde se cortan r y π, sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

2+\lambda+3+\lambda-(2-\lambda)=0~;\\\\3\lambda+3=0~;\\\\\lambda=-1

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto M: M=(1,2,3).

El punto M es el punto medio entre P y P´, por tanto:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=2(1,2,3)-(2,3,2)=(0,1,4)


b) Calcular la ecuación general de los dos planos paralelos a π que están a una distancia \sqrt 3 del punto P.

Hemos de encontrar los planos α paralelos a π que, por tanto tienen por ecuación implítica, x+y-z+D=0

La distancia de un punto P=(x_0,y_0,z_0) a un plano \alpha:~Ax+By+Cz+D=0 es:

\boxed{d(P,\alpha)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

En el caso de P=(2,3,2) y \alpha:~Ax+By+Cz+D=0:

d(P,\alpha)=\dfrac{|2+3-2+D|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|3+D|}{\sqrt{3}}

Queremos que esta distancia sea $\sqrt 3$, luego:

\dfrac{|3+D|}{\sqrt{3}}=\sqrt 3~;\\\\|3+D|=3

ecuación en valor absoluto que resolvemos a continuación:

\bullet~3+D=3\rightarrow D=0\\\\\bullet~3+D=-3\rightarrow D=-6

Luego los planos buscados son:

\alpha_1:~x+y-z=0\\\\\alpha_2:~x+y-z-6=0

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s