Problema 417

Sea la función f(x)=a\cdot e^{-x^2+bx} con a≠0 y b≠0.

a) Calcular los valores de a y de b que hacen que la función f tenga un extremo relativo en el punto (1,e).
b) Para el caso a=3 y b=5, calcular la asíntota horizontal de la función f cuando x tiene a +∞.


Solución:

a) Calcular los valores de a y de b que hacen que la función f tenga un extremo relativo en el punto (1,e).

Por ser el punto (1,e) un punto de la gráfica de la función, entonces f(1)=e.
Per ser el punto (1,e) un extremo de la gráfica de la función, entonces f'(1)=0.
Solo tenemos que resolver el sistema formado por estas dos ecuaciones:

f(1)=a\cdot e^{-1+b}\\\\f'(x)=a\cdot e^{-x^2+bx}(-2x+b)\\\\f'(1)=a\cdot e^{-1+b}(-2+b)

El sistema a resolver es:

\left\{\begin{array}{rl}a\cdot e^{-1+b}&=e\\a\cdot e^{-1+b}(-2+b)&=0\end{array}\right.

Como a\cdot e^{-1+b}=e entonces a\cdot e^{-1+b}(-2+b)=e(-2+b)=0, de donde

e(-2+b)=0~;\\\\b=2

Siendo b=2, entonces a\cdot e^{-1+2}=e de donde

a\cdot e^1=e~;\\\\a=1


b) Para el caso a=3 y b=5, calcular la asíntota horizontal de la función f cuando x tiene a +∞.

La función es f(x)=3\cdot e^{-x^2+5x}. Calculamos la asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}3\cdot e^{-x^2+5x}=3\cdot e^{-\infty}=3\cdot 0=0

La asíntota horizontal tiene por ecuación y=0.

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