Problema 418

Sabemos que una función f está definida para todos los números reales y que es derivable dos veces. Sabemos también que tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x=2, que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en ese punto es y=-124x+249 y que f(-3)=4.

a) Calcular f''(2),\,f'(2)\mbox{ y }f(2).
b) Calcular \displaystyle\int_{-3}^2f'(x)~dx.


Solución:

a) Calcular f''(2),\,f'(2)\mbox{ y }f(2).

Por tener un punto de inflexión en x=2 entonces f''(2)=0.
Por ser la ecuación de la recta tangente en el punto x=2, y=-124x+249 y por ser la pendiente de dicha recta tangente igual al valor de la derivada de f en dicho punto de tangencia, se tiene f'(2)=-124.
La recta tangente de una función en un punto y la propia función tienen el mismo valor en ese punto, coinciden en ese punto, por tanto f(2)=-124\cdot 2+249=1.


b) Calcular \displaystyle\int_{-3}^2f'(x)~dx.

La primitiva de f´ es f, luego

\displaystyle\int_{-3}^2f'(x)~dx=[f(x)]_{-3}^2=f(2)-f(-3)=1-4=-3

habiendo aplicado la regla de Barrow.

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