Problema 419

Sean las rectas

r_1:~x-1=\dfrac{y-2}{-1}=z-5\qquad r_2:~(x,y,z)=(2-3\lambda,-1+\lambda,2).

a) Encontrar la ecuación general del plano que contiene a la recta r_1 y es paralela a la recta r_2.
b) Decir qué condición se ha de cumplir para que exista un plano que contenga a la recta r_1 y sea perpendicular a la recta r_2. Con las rectas r_1\mbox{ y }r_2 del enunciado, comprobar si existe un plano que contenga a la recta r_1 y sea perpendicular a la recta r_2.


Solución:

a) Encontrar la ecuación general del plano que contiene a la recta r_1 y es paralela a la recta r_2.

El plano π buscado se construye con \pi:~\left\{\begin{array}{l}P_1=(1,2,5)\\\vec v_1=(1,-1,1)\\\vec v_2=(-3,1,0)\end{array}\right., siendo P_1 un punto cualquiera de la recta r_1, \vec v_1 su vector director y \vec v_2 el vector director de la recta r_2.
La ecuación general de π es:

\begin{vmatrix}x-1&y-2&z-5\\1&-1&1\\-3&1&0\end{vmatrix}=-3(y-2)+(z-5)-3(z-5)-(x-1)=\\\\=-3y+6-2(z-5)-x+1=-x-3y-2z+17

Luego el plano es \pi:~x+3y+2z-17=0.


b) Decir qué condición se ha de cumplir para que exista un plano que contenga a la recta r_1 y sea perpendicular a la recta r_2.

Si un plano contiene a la recta r_1 y es perpendicular a r_2, entonces ha de ser r_1\bot r_2. Esta es una condición necesaria pero no suficiente.


b2) Con las rectas r_1\mbox{ y }r_2 del enunciado, comprobar si existe un plano que contenga a la recta r_1 y sea perpendicular a la recta r_2.

Veamos si r_1\bot r_2. Para ello, ha de ser \vec v_1\bot \vec v_2 por lo que se debe cumplir que \vec v_1\cdot\vec v_2=0:

\vec v_1\cdot\vec v_2=(1,-1,1)\cdot(-3,1,0)=-3-1=-4\neq0

Por lo que las rectas r_1\mbox{ y }r_2 no son perpendiculares y no existe el plano buscado.

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