Problema 419

Sean las rectas

$r_1:~x-1=\dfrac{y-2}{-1}=z-5\qquad r_2:~(x,y,z)=(2-3\lambda,-1+\lambda,2).$

a) Encontrar la ecuación general del plano que contiene a la recta $r_1$ y es paralela a la recta $r_2.$
b) Decir qué condición se ha de cumplir para que exista un plano que contenga a la recta $r_1$ y sea perpendicular a la recta $r_2$ . Con las rectas $r_1\mbox{ y }r_2$ del enunciado, comprobar si existe un plano que contenga a la recta $r_1$ y sea perpendicular a la recta $r_2.$

Solución:

a) Encontrar la ecuación general del plano que contiene a la recta $r_1$ y es paralela a la recta $r_2.$

El plano π buscado se construye con $\pi:~\left\{\begin{array}{l}P_1=(1,2,5)\\\vec v_1=(1,-1,1)\\\vec v_2=(-3,1,0)\end{array}\right.$ , siendo $P_1$ un punto cualquiera de la recta $r_1$ , $\vec v_1$ su vector director y $\vec v_2$ el vector director de la recta $r_2$ .
La ecuación general de π es:

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z-5\\1&-1&1\\-3&1&0\end{vmatrix}=-3(y-2)+(z-5)-3(z-5)-(x-1)=\\\\=-3y+6-2(z-5)-x+1=-x-3y-2z+17$

Luego el plano es $\pi:~x+3y+2z-17=0.$

b) Decir qué condición se ha de cumplir para que exista un plano que contenga a la recta $r_1$ y sea perpendicular a la recta $r_2$ .

Si un plano contiene a la recta $r_1$ y es perpendicular a $r_2$ , entonces ha de ser $r_1\bot r_2.$ Esta es una condición necesaria pero no suficiente.