Problema 420

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II,

Considerar la matriz A=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&0\\1&1&1\end{pmatrix}.

a) Si I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} es la matriz identidad de orden 3, calcular para qué valores de k, la matrix A+kI tiene inversa. Encontrar, si existe, la matriz inversa de A-2I.
b) Calcular la matriz X que satisface la ecuación XA+A^t=2X, siendo A^t la matriz traspuesta de A.

Solución:

a) Calculamos la matriz

A+kI=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&0\\1&1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+k&0&1\\0&-1+k&0\\1&1&1+k\end{pmatrix}

cuyo determinante es

|A+kI|=(-1+k)^2(1+k)-(-1+k)=(-1+k)[(-1+k)(1+k)-1]=\\\\=(-1+k)[k^2-1-1]=(-1+k)(k^2-2)

Determinante cuyas raíces son k=1,\,k=\pm\sqrt 2. Para estos valores de k, la matriz A+kI no tiene inversa.

Si k=-2, se tiene la matriz A-2I que sí tiene inversa. Su determinante es -3·2=-6.
Calculamos la matriz inversa utilizando la fórmula:

\boxed{M^{-1}=\dfrac 1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}

En nuestro caso, llamando M=A-2I=\begin{pmatrix}-3&0&1\\0&-3&0\\1&1&-1\end{pmatrix}

\mbox{Adj}M=\begin{pmatrix}3&0&3\\1&2&3\\3&0&9\end{pmatrix}

luego

M^{-1}=\dfrac1{-6}\begin{pmatrix}3&1&3\\0&2&0\\3&3&9\end{pmatrix}

b) Calcular la matriz X que satisface la ecuación XA+A^t=2X.

Despejamos la matriz X:

XA+A^t=2X~;\\\\XA-2X=-A^t~;\\\\X(A-2I)=-A^t~;\\\\XM=-A^t~;\\\\X=-A^tM^{-1}

Es decir

X=-\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\dfrac1{-6}\begin{pmatrix}3&1&3\\0&2&0\\3&3&9\end{pmatrix}=\dfrac 16\begin{pmatrix}0&2&6\\3&1&9\\6&4&12\end{pmatrix}

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