Considerar la función polinómica

a) Calcular los valores de los parámetros a, b y c, sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=1 y que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=0 es la recta
b) Para los valores a=2, b=1 y c=3, calcular las abscisas de los extremos relativos de la función y clasificarlos.

Solución:

a) Que en x=1 haya un extremo relativo significa que .
Que la recta tangente en x=0 sea la recta , significa dos cosas:

• ya que la pendiente de la recta tangente es igual al valor de la derivada de f en el punto de tangencia.
• ya que en el punto de tangencia, tanto f como la recta tangente tienen el mismo valor.

Tenemos así tres ecuaciones que dan lugar a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sabiendo que , el sistema es:

La solución de este sistema es a=2, b=1 y c=3.

b) Para los valores a=2, b=1 y c=3, calcular las abscisas de los extremos relativos de la función y clasificarlos.

Los extremos relativos son puntos críticos, donde :

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=1/3.

Para clasificar ambos puntos críticos utilizamos el test de la derivada segunda:

Luego en x=1 la función f presenta un mínimo local, y en x=1/3 la función f presenta un máximo local.

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