Problema 421

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II, ,

Considerar la función polinómica f(x)=x^3-ax^2+bx+c

a) Calcular los valores de los parámetros a, b y c, sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=1 y que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=0 es la recta y=x+3.
b) Para los valores a=2, b=1 y c=3, calcular las abscisas de los extremos relativos de la función y clasificarlos.

Solución:

a) Que en x=1 haya un extremo relativo significa que f'(1)=0.
Que la recta tangente en x=0 sea la recta y=x+3, significa dos cosas:

  • f'(0)=1 ya que la pendiente de la recta tangente es igual al valor de la derivada de f en el punto de tangencia.
  • f(0)=0+3=3 ya que en el punto de tangencia, tanto f como la recta tangente tienen el mismo valor.

Tenemos así tres ecuaciones que dan lugar a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Sabiendo que f'(x)=3x^2-2ax+b, el sistema es:

\left\{\begin{array}{l}f'(1)=0\\f'(0)=1\\f(0)=3\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}3-2a+b=0\\b=1\\c=3\end{array}\right.

La solución de este sistema es a=2, b=1 y c=3.

b) Para los valores a=2, b=1 y c=3, calcular las abscisas de los extremos relativos de la función y clasificarlos.

Los extremos relativos son puntos críticos, donde f'(x)=0:

3x^2-4x+1=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=1/3.

Para clasificar ambos puntos críticos utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=6x-4\\\bullet~f''(1)=2>0\\\bullet~f''(\frac 13)=-2<0

Luego en x=1 la función f presenta un mínimo local, y en x=1/3 la función f presenta un máximo local.

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