Problema 422

Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real a:

$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\x+y-z=1\\2x+ay=2a\end{array}\right.$

a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para el caso a=1.

Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1&1&-1&1\\2&a&0&2a\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de M:

$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{vmatrix}=-2+a-2+a=2a-4$

determinante cuya raíz es a=2. Por tanto:

Si a≠2, se tiene que rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
Si a=2, se tiene $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&2&0\end{pmatrix}$ de manera que rg(M)=2 ya que $\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\neq0$ .
Calculamos el rango de M*:
$\begin{vmatrix}1&1&3\\1&-1&1\\2&0&4\end{vmatrix}=-4+2+6-4=0$
Por lo que rg(M*) es también 2 y como n=3, entonces el sistema es compatible indeterminado.