Problema 422

Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real a:

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\x+y-z=1\\2x+ay=2a\end{array}\right.

a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para el caso a=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Escribimos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1&1&-1&1\\2&a&0&2a\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{vmatrix}=-2+a-2+a=2a-4

determinante cuya raíz es a=2. Por tanto:

  • Si a≠2, se tiene que rg(M)=3=rg(M*)=n y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=2, se tiene M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&2&0\end{pmatrix} de manera que rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\neq0.
    Calculamos el rango de M*:
    \begin{vmatrix}1&1&3\\1&-1&1\\2&0&4\end{vmatrix}=-4+2+6-4=0
    Por lo que rg(M*) es también 2 y como n=3, entonces el sistema es compatible indeterminado.

b) Resolver el sistema para el caso a=1.

Como vimos en el apartado anterior, para a=1 el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

\left\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\x+y-z=1\\2x+y=2\end{array}\right.

x=\dfrac{\begin{vmatrix}3&1&1\\1&1&-1\\2&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-2+1-2+3}{-2}=0

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&3&1\\1&1&-1\\2&2&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-6+2-2+2}{-2}=2

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&3\\1&1&1\\2&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{2+2+3-6-2-1}{-2}=1

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