Problema 423

Considerar el plano que tiene como vectores directores $\vec u=(-1,3,2)\mbox{ y }\vec v=(2,1,0)$ y que pasa por el punto A=(1,0,3).

a) Calcular la ecuación de la recta que es perpendicular a dicho plano y pasa por el punto A.
b) Calcular la distancia del punto P=(1,5,0) al plano.

Solución:

a) La recta r buscada ha de ser perpendicular al plano, luego su vector director es:

$\vec v_r=\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&3&2\\2&1&0\end{vmatrix}=-2\vec\imath+4\vec\jmath-7\vec k=(-2,4,7)$

Además, r pasa por el punto A=(1,0,3), luego sus ecuaciones en forma continua son:

$r:~\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac y4=\dfrac{z-3}7$

b) Calcular la distancia del punto P=(1,5,0) al plano.

Escribimos el plano en forma implícita:

$\begin{vmatrix}x-1&y&z-3\\-1&3&2 \\2&1&0\end{vmatrix}=-2(x-1)+4y-7(z-3)=-2x+4y-7z+23$

Luego el plano es: $-2x+4y-7z+23=0$

La distancia de un punto $P=(x_0,y_0,z_0)$ a un plano $\pi:~Ax+By+Cz+D=0$ es:

$\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

En nuestro caso P=(1,5,0) y el plano π es $-2x+4y-7z+23=0$ , por lo que la distancia es:

$d(P,\pi)=\dfrac{|-2\cdot1+4\cdot5+23|}{\sqrt{4+16+49}}=\dfrac{41}{\sqrt{69}}\mbox{ u.l.}$

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