Problema 424

Sea la matriz A=\begin{pmatrix}1&0&\alpha\\\alpha&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}, donde α es un parámetro real.

a) ¿Existe algún valor de \alpha\in\mathbb R para el que A no tiene inversa?
b) Calcular la matriz inversa de A² para α=0.


Solución:

a) A no tienen inversa si |A|=0:

|A|=\begin{vmatrix}1&0&\alpha\\\alpha&0&-1\\2&-1&1\end{vmatrix}=-\alpha^2-1

Este determinante no tiene raíces:

-\alpha^2-1=0~;\\\\\alpha^2=-1~;\\\\\alpha=\pm\sqrt{-1}~!!!

Es decir, no existe ningún número real α tal que A no sea invertible. Es decir, A tiene inversa para cualquier número real α.


b) Para α=0, A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix} cuyo determinante es -1, por lo que |A^2|=(-1)^2=1 por la propiedad 3 de los determinantes:

A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&-1\\4&-1&2\end{pmatrix}

Calculamos la matriz inversa de esta matriz utilizando la fórmula:

(A^2)^{-1}=\dfrac 1{|A^2|}(\mbox{Adj}A^2)^t

sabiendo que |A^2|=1

\mbox{Adj}A^2=\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}

luego

(A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}

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