Problema 424

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}1&0&\alpha\\\alpha&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}$ , donde α es un parámetro real.

a) ¿Existe algún valor de $\alpha\in\mathbb R$ para el que A no tiene inversa?
b) Calcular la matriz inversa de A² para α=0.

Solución:

a) A no tienen inversa si |A|=0:

$|A|=\begin{vmatrix}1&0&\alpha\\\alpha&0&-1\\2&-1&1\end{vmatrix}=-\alpha^2-1$

Este determinante no tiene raíces:

$-\alpha^2-1=0~;\\\\\alpha^2=-1~;\\\\\alpha=\pm\sqrt{-1}~!!!$

Es decir, no existe ningún número real α tal que A no sea invertible. Es decir, A tiene inversa para cualquier número real α.

b) Para α=0, $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}$ cuyo determinante es -1, por lo que $|A^2|=(-1)^2=1$ por la propiedad 3 de los determinantes:

$A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&-1\\4&-1&2\end{pmatrix}$