Problema 425

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considerar los puntos del espacio tridimensional A=(1,1,0), B=(3,5,0) y C=(1,0,0) y la recta

r:~x=y-1=\dfrac z2

a) Encontrar el punto de intersección de la recta r con el plano que pasa por los puntos A, B y C.
b) Encontrar el punto P de la recta r por el cual el tetraedro de vértices P, A, B y C tiene un volumen de 2 u.v.

Solución:

a) Primero calculamos el plano α que pasa por los puntos A, B y C. Dicho plano estará formado por los siguientes elementos

\alpha:~\left\{\begin{array}{l}A=(1,1,0)\\\overrightarrow{AB}=(3,5,0)-(1,1,0)=(2,4,0)\\\overrightarrow{AC}=(1,0,0)-(1,1,0)=(0,-1,0)\end{array}\right.

Escribimos α en forma general:

\begin{vmatrix}x-1&y-1&z\\2&4&0\\0&-1&0\end{vmatrix}=-2z

Luego \alpha:~-2z=0 o lo que es lo mismo \alpha:~z=0.

Escribimos la recta r en paramétricas:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1+\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.

El punto Q de intersección de r con α se obtiene sustituyendo las paramétricas de r en la ecuación general de α:

2\lambda=0~;\\\\\lambda=0

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto de intersección Q:

Q=(0,1,0)

b) Recordamos las paramétricas de r:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1+\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.

Por ser P un punto de r, entonces sus coordenadas son P=(\lambda,1+\lambda,2\lambda)

Por otra parte, cuatro puntos pueden formar un tetraedro. El volumen del tetraedro formado por los puntos P, A, B y C es:

V=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]|}6

donde \overrightarrow{AP}=(\lambda,1+\lambda,2\lambda)-(1,1,0)=(\lambda-1,\lambda,2\lambda)

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]=\begin{vmatrix}2&4&0\\0&-1&0\\\lambda-1&\lambda&2\lambda\end{vmatrix}=-4\lambda

luego

V=\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}]|}6=\dfrac{|-4\lambda|}6

Sabemos que este volumen vale 2:

2=\dfrac{|-4\lambda|}6~;\\\\|-4\lambda|=12

ecuación en valores absolutos cuyas soluciones son:

  • -4\lambda=12\longrightarrow \lambda=-3\longrightarrow P_1=(-3,-2,-6)
  • 4\lambda=12\longrightarrow \lambda=3\longrightarrow P_2=(3,4,6)

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