Considerar los puntos del espacio tridimensional A=(1,1,0), B=(3,5,0) y C=(1,0,0) y la recta
a) Encontrar el punto de intersección de la recta r con el plano que pasa por los puntos A, B y C.
b) Encontrar el punto P de la recta r por el cual el tetraedro de vértices P, A, B y C tiene un volumen de 2 u.v.
Solución:
a) Primero calculamos el plano α que pasa por los puntos A, B y C. Dicho plano estará formado por los siguientes elementos
Escribimos α en forma general:
Luego o lo que es lo mismo
.
Escribimos la recta r en paramétricas:
El punto Q de intersección de r con α se obtiene sustituyendo las paramétricas de r en la ecuación general de α:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto de intersección Q:
b) Recordamos las paramétricas de r:
Por ser P un punto de r, entonces sus coordenadas son
Por otra parte, cuatro puntos pueden formar un tetraedro. El volumen del tetraedro formado por los puntos P, A, B y C es:
donde
luego
Sabemos que este volumen vale 2:
ecuación en valores absolutos cuyas soluciones son:
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