Problema 426

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Sean las funciones f(x)=x^2-1\mbox{ y }g(x)=3-x^2.

a) Hacer un esbozo de las gráficas de las parábolas y=f(x)\mbox{ e }y=g(x) en un mismo sistema de ejes cartesianos, y encontrar los puntos de corte con el eje de abscisas, los vértices y los puntos de corte entre las dos gráficas.
b) Calcular el área de la región del semiplano y≥0 comprendida entre las gráficas de f(x)\mbox{ y }g(x).

Solución:

a) La función f es gráficamente una parábola convexa cuyos puntos de corte con los ejes son:

  • Puntos de corte con el eje x → f(x)=0
    x^2-1=0~;\\x^2=1~;\\x=\pm1
    Los puntos de corte con el eje x de f son (1,0) y (-1,0)
  • Puntos de corte con el eje y → y=f(0)
    f(0)=0^2-1=-1
    El punto de corte con el eje y de f es (0,-1).
  • Siendo una función cuadrática de la forma y=ax^2+bx+c cuya gráfica es una parábola, el vértice de esta parábola se calcula con la fórmula x_v=\dfrac{-b}{2a}:
    x_v=\dfrac 02=0\longrightarrow y_v=f(0)=-1
    Es decir, el punto (0,-1)

La función g es también una parábola pero cóncava:

  • Puntos de corte con el eje x → g(x)=0
    3-x^2=0~;\\x^2=3~;\\x=\pm\sqrt3
    Los puntos de corte con el eje x de g son (\sqrt3,0)\mbox{ y }(-\sqrt3,0)
  • Puntos de corte con el eje y → y=g(0)
    g(0)=3-0^2=3
    El punto de corte con el eje y de g es (0,3)
  • El vértice de g es
    x_v=\dfrac 0{-1}=0\longrightarrow y_v=g(0)=3
    Es decir, el vértice de g es el punto (0,3)

Nos queda determinar en qué punto se cortan ambas gráficas, para ello igualamos ambas expresiones, f(x)=g(x), y resolvemos la ecuación:

x^2-1=3-x^2~;\\\\2x^2=4~;\\\\x^2=2~;\\\\x=\pm\sqrt2

Luego los puntos de corte de ambas gráficas son:

(x,y)=(\sqrt2,f(\sqrt2)=(\sqrt2,1)\\(x,y)=(-\sqrt2,f(\sqrt2)=(-\sqrt2,1)

p426

 

b) Se pide calcular el área de la región sombreada en la figura anterior.

Como ambas funciones tienen simetría par (f(-x)=f(x)\mbox{ y }g(-x)=g(x), el área buscada es:

\displaystyle A=2\left(\int_0^{\sqrt2}3-x^2~dx-\int_1^{\sqrt2}x^2-1~dx\right)=\\\\=2\left(\left[3x-\dfrac{x^3}3\right]_0^{\sqrt2}-\left[\dfrac{x^3}3-x\right]_1^{\sqrt2}\right)=\\\\=2\left(\left(3\sqrt2-\dfrac{\sqrt2^3}3\right)-\left(\dfrac{\sqrt2^3}3-\sqrt2\right)+\left(\dfrac 13-1\right)\right)=\\\\=2\left(\dfrac{9\sqrt2-2\sqrt2-2\sqrt2+3\sqrt2+1-3}3\right)=\\\\=\dfrac{16\sqrt2-4}3\approx6.21\mbox{ u.a.}

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