Sean las funciones
a) Hacer un esbozo de las gráficas de las parábolas en un mismo sistema de ejes cartesianos, y encontrar los puntos de corte con el eje de abscisas, los vértices y los puntos de corte entre las dos gráficas.
b) Calcular el área de la región del semiplano y≥0 comprendida entre las gráficas de
Solución:
a) La función f es gráficamente una parábola convexa cuyos puntos de corte con los ejes son:
- Puntos de corte con el eje x →
Los puntos de corte con el eje x de f son (1,0) y (-1,0) - Puntos de corte con el eje y →
El punto de corte con el eje y de f es (0,-1). - Siendo una función cuadrática de la forma
cuya gráfica es una parábola, el vértice de esta parábola se calcula con la fórmula
:
Es decir, el punto (0,-1)
La función g es también una parábola pero cóncava:
- Puntos de corte con el eje x →
Los puntos de corte con el eje x de g son - Puntos de corte con el eje y →
El punto de corte con el eje y de g es (0,3) - El vértice de g es
Es decir, el vértice de g es el punto (0,3)
Nos queda determinar en qué punto se cortan ambas gráficas, para ello igualamos ambas expresiones, , y resolvemos la ecuación:
Luego los puntos de corte de ambas gráficas son:
b) Se pide calcular el área de la región sombreada en la figura anterior.
Como ambas funciones tienen simetría par , el área buscada es:
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