Sean las funciones
a) Hacer un esbozo de las gráficas de las parábolas 
b) Calcular el área de la región del semiplano y≥0 comprendida entre las gráficas de
Solución:
a) La función f es gráficamente una parábola convexa cuyos puntos de corte con los ejes son:
- Puntos de corte con el eje x →
Los puntos de corte con el eje x de f son (1,0) y (-1,0) - Puntos de corte con el eje y →
El punto de corte con el eje y de f es (0,-1). - Siendo una función cuadrática de la forma
cuya gráfica es una parábola, el vértice de esta parábola se calcula con la fórmula
:
Es decir, el punto (0,-1)
La función g es también una parábola pero cóncava:
- Puntos de corte con el eje x →
Los puntos de corte con el eje x de g son - Puntos de corte con el eje y →
El punto de corte con el eje y de g es (0,3) - El vértice de g es
Es decir, el vértice de g es el punto (0,3)
Nos queda determinar en qué punto se cortan ambas gráficas, para ello igualamos ambas expresiones, 
Luego los puntos de corte de ambas gráficas son:
b) Se pide calcular el área de la región sombreada en la figura anterior.
Como ambas funciones tienen simetría par 
![\displaystyle A=2\left(\int_0^{\sqrt2}3-x^2~dx-\int_1^{\sqrt2}x^2-1~dx\right)=\\\\=2\left(\left[3x-\dfrac{x^3}3\right]_0^{\sqrt2}-\left[\dfrac{x^3}3-x\right]_1^{\sqrt2}\right)=\\\\=2\left(\left(3\sqrt2-\dfrac{\sqrt2^3}3\right)-\left(\dfrac{\sqrt2^3}3-\sqrt2\right)+\left(\dfrac 13-1\right)\right)=\\\\=2\left(\dfrac{9\sqrt2-2\sqrt2-2\sqrt2+3\sqrt2+1-3}3\right)=\\\\=\dfrac{16\sqrt2-4}3\approx6.21\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A%3D2%5Cleft%28%5Cint_0%5E%7B%5Csqrt2%7D3-x%5E2%7Edx-%5Cint_1%5E%7B%5Csqrt2%7Dx%5E2-1%7Edx%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cleft%28%5Cleft%5B3x-%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_0%5E%7B%5Csqrt2%7D-%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3-x%5Cright%5D_1%5E%7B%5Csqrt2%7D%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cleft%28%5Cleft%283%5Csqrt2-%5Cdfrac%7B%5Csqrt2%5E3%7D3%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B%5Csqrt2%5E3%7D3-%5Csqrt2%5Cright%29%2B%5Cleft%28%5Cdfrac+13-1%5Cright%29%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cleft%28%5Cdfrac%7B9%5Csqrt2-2%5Csqrt2-2%5Csqrt2%2B3%5Csqrt2%2B1-3%7D3%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B16%5Csqrt2-4%7D3%5Capprox6.21%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle A=2\left(\int_0^{\sqrt2}3-x^2~dx-\int_1^{\sqrt2}x^2-1~dx\right)=\\\\=2\left(\left[3x-\dfrac{x^3}3\right]_0^{\sqrt2}-\left[\dfrac{x^3}3-x\right]_1^{\sqrt2}\right)=\\\\=2\left(\left(3\sqrt2-\dfrac{\sqrt2^3}3\right)-\left(\dfrac{\sqrt2^3}3-\sqrt2\right)+\left(\dfrac 13-1\right)\right)=\\\\=2\left(\dfrac{9\sqrt2-2\sqrt2-2\sqrt2+3\sqrt2+1-3}3\right)=\\\\=\dfrac{16\sqrt2-4}3\approx6.21\mbox{ u.a.}")
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