Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente que depende del parámetro λ:
a) Estudiar para qué valores del parámetro λ el sistema es incompatible.
b) Resolver el sistema para el caso λ=1.
Solución:
a) Según explica el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la matriz ampliada. Sean
Calculamos el rango de M:
determinante cuyas raíces son λ=0 y λ=-1, por tanto:
- Si λ≠0 y λ≠-1, el rango de M es 3 e igual que el rango de M* por lo que el sistema no puede ser incomatible.
- Si λ=0, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
por lo que el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible para λ=0. - Si λ=-1, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
por lo que el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible para λ=-1.
b) Para el caso λ=1, el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado anterior. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:
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