Problema 427

Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente que depende del parámetro λ:

\left\{\begin{array}{c}\lambda x+y-z=0\\y+z=10\\2\lambda x-y+5\lambda z=30\end{array}\right.

a) Estudiar para qué valores del parámetro λ el sistema es incompatible.
b) Resolver el sistema para el caso λ=1.


Solución:

a) Según explica el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la matriz ampliada. Sean

M=\begin{pmatrix}\lambda&1&-1\\0&1&1\\2\lambda&-1&5\lambda\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}\lambda&1&-1&0\\0&1&1&10\\2\lambda&-1&5\lambda&30\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}\lambda&1&-1\\0&1&1\\2\lambda&-1&5\lambda\end{vmatrix}=5\lambda^2+2\lambda+2\lambda+\lambda=5\lambda^2+5\lambda=5\lambda(\lambda+1)

determinante cuyas raíces son λ=0 y λ=-1, por tanto:

  • Si λ≠0 y λ≠-1, el rango de M es 3 e igual que el rango de M* por lo que el sistema no puede ser incomatible.
  • Si λ=0, entonces M=\begin{pmatrix}0&1&-1\\0&1&1\\0&-1&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\1&1&10\\-1&0&30\end{vmatrix}=30+10+30\neq0
    por lo que el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible para λ=0.
  • Si λ=-1, entonces M=\begin{pmatrix}-1&1&-1\\0&1&1\\-2&-1&-5\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-1&1\\0&1\end{vmatrix}=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-1&1&0\\0&1&10\\-2&-1&30\end{vmatrix}=-30-20-10\neq0
    por lo que el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible para λ=-1.

b) Para el caso λ=1, el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado anterior. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&1&-1\\10&1&1\\30&-1&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\0&1&1\\2&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{30+10+30-50}{5\cdot1(1+1)}=\dfrac{20}{10}=2

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&10&1\\2&30&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\0&1&1\\2&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{50+20-30}{10}=\dfrac{40}{10}=4

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&10\\2&-1&30\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\0&1&1\\2&-1&5\end{vmatrix}}=\dfrac{30+20+10}{10}=\dfrac{60}{10}=6

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