Problema 428

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considerar los planos \pi_1:~5x-y-7z=1\mbox{ y }\pi_2:~2x+3y+z=5.

a) Determinar la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos \pi_1\mbox{ y }\pi_2.
b) Calcular el ángulo que forman los planos \pi_1\mbox{ y }\pi_2.

Solución:

a) El plano \pi que es perpendicular simultáneamente a otros dos planos \pi_1\mbox{ y }\pi_2, tiene por vector normal \vec n una dirección perpendicular a los vectores normales de ambos planos \vec n_1\mbox{ y }\vec n_2.
Dado que \vec n_1=(5,-1,-7) y \vec n_2=(2,3,1), entonces

\vec n=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\5&-1&-7\\2&3&1\end{vmatrix}=20\vec\imath-19\vec\jmath+17\vec k=(20,-19,17)

luego el plano buscado es de la forma 20x-19y+17z+D=0. Obligamos a que este plano pase por el origen de coordenadas (0,0,0) y se obtiene que D=0, luego el plano buscado es

\pi:~20x-19y+17z=0

b) El ángulo α que forma dos planos \pi_1\mbox{ y }\pi_2 es igual al ángulo que forman sus vectores directores \vec n_1\mbox{ y }\vec n_2.
El ángulo que forman dos vectores lo obtenemos con la siguiente fórmula:

\boxed{\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}}

\vec n_1\cdot\vec n_2=(5,-1,-7)\cdot(2,3,1)=0

Como \vec n_1\mbox{ y }\vec n_2 no son vectores nulos, sus módulos son mayores de 0, por tanto

\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}=\dfrac 0{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}=0\\\\\alpha=\arccos(0)=\dfrac \pi2\mbox{ rad}

El ángulo que forman \pi_1\mbox{ y }\pi_2 es \dfrac \pi2\mbox{ rad}.

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