Sea la función donde k es un parámetro real diferente de 0. Para los distintos valores del parámetro k, se pide:
a) Calcular el dominio y las asíntotas de la función.
b) Calcular los puntos con un máximo o mínimo relativo.
Solución:
a) Igualamos el denominador a 0 y resulta
luego el dominio de f es:
- Si k>0,
- Si k<0,
Comenzamos estudiando las asíntotas para k<0:
- Asíntota vertical: no tiene ya que
- Asíntota horizontal:
Luego la asíntota horizontal es y=0. - Asíntota oblicua no tiene por tener asíntota horizontal.
Ahora estudiamos las asíntotas para k>0:
- Asíntota vertical:
Luego hay asíntotas verticales y son: - Asíntota horizontal:
Luego hay asíntota horizontal y su ecuación es y=0. - Asíntota oblicua no tiene.
b) Los máximos y mínimos son puntos críticos. Calculamos estos puntos críticos:
recordando que k≠0 y que por tanto x=0 pertenece al dominio de f.
Estudiamos la monotonía de f para todos los valores de k:
- Si k<0, dado que
Se tiene en x=0 un máximo cuyo valor es - Si k>0, dado que
, estudiamos la monotonía en un entorno de 0:
Se tiene también x=0 un máximo cuyo valor es
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