Problema 429

Sea la función $f(x)=\dfrac{1}{x^2-k}$ donde k es un parámetro real diferente de 0. Para los distintos valores del parámetro k, se pide:

a) Calcular el dominio y las asíntotas de la función.
b) Calcular los puntos con un máximo o mínimo relativo.

Solución:

a) Igualamos el denominador a 0 y resulta

$x^2-k=0~;\\\\x^2=k~;\\\\x=\pm\sqrt k$

luego el dominio de f es:

Comenzamos estudiando las asíntotas para k<0:

Asíntota vertical: no tiene ya que $\mbox{Dom}f(x)=\mathbb R$
Asíntota horizontal:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{+\infty}=0$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{+\infty}=0$
Luego la asíntota horizontal es y=0.
Asíntota oblicua no tiene por tener asíntota horizontal.

Ahora estudiamos las asíntotas para k>0:

Asíntota vertical:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\sqrt k^+}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{0^+}=+\infty$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\sqrt k^-}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{0^-}=-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\sqrt k^+}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{0^-}=-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\sqrt k^-}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{0^+}=+\infty$
Luego hay asíntotas verticales y son: $x=\sqrt k\mbox{ y }x=-\sqrt k$
Asíntota horizontal:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{+\infty}=0$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x^2-k}=\dfrac 1{+\infty}=0$
Luego hay asíntota horizontal y su ecuación es y=0.
Asíntota oblicua no tiene.

b) Los máximos y mínimos son puntos críticos. Calculamos estos puntos críticos:

$f'(x)=\dfrac{-2x}{(x^2-k)^2}=0~;\\\\-2x=0~;\\\\x=0$

recordando que k≠0 y que por tanto x=0 pertenece al dominio de f.
Estudiamos la monotonía de f para todos los valores de k:

Si k<0, dado que $\mbox{Dom}f(x)=\mathbb R$
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$
Se tiene en x=0 un máximo cuyo valor es $f(0)=\dfrac1{0^2-k}=\dfrac{-1}k$
Si k>0, dado que $\mbox{Dom}f(x)=\mathbb R\setminus\{-\sqrt k,\sqrt k\}$ , estudiamos la monotonía en un entorno de 0:
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\sqrt k,0)&(0,+\sqrt k)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$
Se tiene también x=0 un máximo cuyo valor es $f(0)=\dfrac1{0^2-k}=\dfrac{-1}k$