Problema 430

Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales siguiente tiene una solución única:

\left\{\begin{array}{l}x+ay=1\\x+az=1\\y+z=a\end{array}\right.

a) Comprobar que a≠0.
b) Encontrar la solución del sistema en función del parámetro a.


Solución:

a) Para discutir la compatibilidad de un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Sean las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&a&0&1\\1&0&a&1\\0&1&1&a\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M:

\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}=-a-a=-2a

determinante cuya raíz es a=0. Por tanto, si a≠0, \mbox{rg}M=3=\mbox{rg}M^*=n, el sistema es compatible determinado teniendo solución única.
Para a=0 sabemos que rg(M) será menor de 3 luego no será compatible determinado y no tendrá solución única.


b) Encontrar la solución del sistema en función del parámetro a.

  • Para a≠0 el sistema es compatible determinado. Utilizamos la regla de Cramer para resolver el sistema:
    x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\a&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{a^3-a-a}{-2a}=\dfrac{a^2-2}{-2}
    y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&a\\0&a&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1-1-a^2}{-2a}=\dfrac{a}{2}
    z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&a&1\\1&0&1\\0&1&a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1-a^2-1}{-2a}=\dfrac{a}{2}
  • Para a=0, la matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}=0
    Luego el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo hacemos el cambio z=λ en el sistema equivalente
    \left\{\begin{array}{l}x=1\\y+z=0\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-\lambda\end{array}\right.
    Luego la solución es: (x,y,z)=(1,-\lambda,\lambda).

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