Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales siguiente tiene una solución única:
a) Comprobar que a≠0.
b) Encontrar la solución del sistema en función del parámetro a.
Solución:
a) Para discutir la compatibilidad de un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Sean las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el rango de M:
determinante cuya raíz es a=0. Por tanto, si a≠0, , el sistema es compatible determinado teniendo solución única.
Para a=0 sabemos que rg(M) será menor de 3 luego no será compatible determinado y no tendrá solución única.
b) Encontrar la solución del sistema en función del parámetro a.
- Para a≠0 el sistema es compatible determinado. Utilizamos la regla de Cramer para resolver el sistema:
- Para a=0, la matriz de coeficientes es
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo hacemos el cambio z=λ en el sistema equivalente
Luego la solución es:
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