Problema 430

Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales siguiente tiene una solución única:

$\left\{\begin{array}{l}x+ay=1\\x+az=1\\y+z=a\end{array}\right.$

a) Comprobar que a≠0.
b) Encontrar la solución del sistema en función del parámetro a.

Solución:

a) Para discutir la compatibilidad de un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Sean las matrices de coeficientes y ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&a&0&1\\1&0&a&1\\0&1&1&a\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de M:

$\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}=-a-a=-2a$

determinante cuya raíz es a=0. Por tanto, si a≠0, $\mbox{rg}M=3=\mbox{rg}M^*=n$ , el sistema es compatible determinado teniendo solución única.
Para a=0 sabemos que rg(M) será menor de 3 luego no será compatible determinado y no tendrá solución única.

b) Encontrar la solución del sistema en función del parámetro a.

Para a≠0 el sistema es compatible determinado. Utilizamos la regla de Cramer para resolver el sistema:
$x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\a&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{a^3-a-a}{-2a}=\dfrac{a^2-2}{-2}$
$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&a\\0&a&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1-1-a^2}{-2a}=\dfrac{a}{2}$
$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&a&1\\1&0&1\\0&1&a\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&a&0\\1&0&a\\0&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{1-a^2-1}{-2a}=\dfrac{a}{2}$
Para a=0, la matriz de coeficientes es $M=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0$ .
Calculamos el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}1&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}=0$
Luego el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo hacemos el cambio z=λ en el sistema equivalente
$\left\{\begin{array}{l}x=1\\y+z=0\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-\lambda\end{array}\right.$
Luego la solución es: $(x,y,z)=(1,-\lambda,\lambda).$