Problema 431

Considerar las matrices cuadradas de orden 2 de la forma M=\begin{pmatrix}x&-1\\y^2+1&x\end{pmatrix}, con x e y números reales.

a) Comprobar que la matriz M es siempre invertible, independientemente de los valores de x e y.
b) Para x=1 e y=-1, calcular M⁻¹.


Solución:

a) Una matriz M es invertible siempre que su determinante sea distinto de 0:

|M|=\begin{vmatrix}x&-1\\y^2+1&x\end{vmatrix}=x^2+y^2+1

Dado que x^2\geq0~\forall~x\in\mathbb R e y^2\geq0~\forall~y\in\mathbb R entonces x^2+y^2+1\geq1~\forall~x,y\in\mathbb R, por lo que la matriz siempre será invertible independientemente de los valores de x e y.


b) Para x=1 e y=-1, calcular M⁻¹.

La matriz es M=\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix} cuyo determinante es 3.

La matriz inversa de M es:

\boxed{M^{-1}=\dfrac1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}

\mbox{Adj}M=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix}

luego

M^{-1}=\dfrac 13\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13&\frac13\\\frac{-2}3&\frac13\end{pmatrix}

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