Problema 432

Considerar un cono de 120 cm³ de volumen que tiene una altura h, el radio de la base x y una generatriz a, como se muestra en la siguiente figura:

p432

a) Comprobar que a^2=\dfrac{360}\pi\cdot\dfrac 1h+h^2.
b) Calcular la altura del cono para que la generatriz tenga longitud mínima.


Solución:

a) Según el teorema de Pitágoras a^2=x^2+h^2. Vamos a escribir x en función de h, para ello utilizaremos el dato del volumen.
El volumen de un cono es V=\dfrac{\pi x^2\cdot h}3 luego

\dfrac{\pi x^2\cdot h}3=120~;\\\\\pi x^2\cdot h=360~;\\\\x^2=\dfrac{360}{\pi h}=\dfrac{360}\pi\cdot\dfrac 1h

luego

a^2=x^2+h^2=\dfrac{360}\pi\cdot\dfrac 1h+h^2


b) Hemos de optimizar la longitud de la generatriz a.
Sabemos que

a(h)=\sqrt{\dfrac{360}\pi\cdot\dfrac 1h+h^2}=\sqrt{\dfrac{360+\pi h^3}{\pi h}}

Calculamos los puntos críticos de la función a(h):

a'(h)=\dfrac 1{2\sqrt{\dfrac{360+\pi h^3}{\pi h}}}\cdot\dfrac{3\pi h^2\cdot\pi h-(360+\pi h^3)\pi}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac 1{2\sqrt{\dfrac{360+\pi h^3}{\pi h}}}\cdot\dfrac{3\pi^2h^3-360\pi-\pi^2h^3}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac{\sqrt{\pi h}}{2\sqrt{360+\pi h^3}}\cdot\dfrac{2\pi^2h^3-360\pi}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac{1}{2\sqrt{360+\pi h^3}}\cdot\dfrac{2\pi^2h^3-360\pi}{\sqrt{\pi h}^3}=0~;\\\\2\pi^2h^3-360\pi=0~;\\\\h^3=\dfrac{360\pi}{2\pi^2}=\dfrac{180}\pi~;\\\\h=\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi}\approx 3.855\mbox{ cm}

Comprobemos si para esta altura h la longitud de la generatriz alcanza un mínimo estudiando la monotonía de a en un entorno de este punto crítico:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi})&(\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

por tanto, éste valor de h hace mínima la longitud de la generatriz a.

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