Considerar un cono de 120 cm³ de volumen que tiene una altura h, el radio de la base x y una generatriz a, como se muestra en la siguiente figura:
a) Comprobar que 
b) Calcular la altura del cono para que la generatriz tenga longitud mínima.
Solución:
a) Según el teorema de Pitágoras 
El volumen de un cono es 
luego
b) Hemos de optimizar la longitud de la generatriz a.
Sabemos que
Calculamos los puntos críticos de la función 
![a'(h)=\dfrac 1{2\sqrt{\dfrac{360+\pi h^3}{\pi h}}}\cdot\dfrac{3\pi h^2\cdot\pi h-(360+\pi h^3)\pi}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac 1{2\sqrt{\dfrac{360+\pi h^3}{\pi h}}}\cdot\dfrac{3\pi^2h^3-360\pi-\pi^2h^3}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac{\sqrt{\pi h}}{2\sqrt{360+\pi h^3}}\cdot\dfrac{2\pi^2h^3-360\pi}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac{1}{2\sqrt{360+\pi h^3}}\cdot\dfrac{2\pi^2h^3-360\pi}{\sqrt{\pi h}^3}=0~;\\\\2\pi^2h^3-360\pi=0~;\\\\h^3=\dfrac{360\pi}{2\pi^2}=\dfrac{180}\pi~;\\\\h=\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi}\approx 3.855\mbox{ cm}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%27%28h%29%3D%5Cdfrac+1%7B2%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B360%2B%5Cpi+h%5E3%7D%7B%5Cpi+h%7D%7D%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7B3%5Cpi+h%5E2%5Ccdot%5Cpi+h-%28360%2B%5Cpi+h%5E3%29%5Cpi%7D%7B%28%5Cpi+h%29%5E2%7D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac+1%7B2%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B360%2B%5Cpi+h%5E3%7D%7B%5Cpi+h%7D%7D%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7B3%5Cpi%5E2h%5E3-360%5Cpi-%5Cpi%5E2h%5E3%7D%7B%28%5Cpi+h%29%5E2%7D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cpi+h%7D%7D%7B2%5Csqrt%7B360%2B%5Cpi+h%5E3%7D%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7B2%5Cpi%5E2h%5E3-360%5Cpi%7D%7B%28%5Cpi+h%29%5E2%7D%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B360%2B%5Cpi+h%5E3%7D%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7B2%5Cpi%5E2h%5E3-360%5Cpi%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi+h%7D%5E3%7D%3D0%7E%3B%5C%5C%5C%5C2%5Cpi%5E2h%5E3-360%5Cpi%3D0%7E%3B%5C%5C%5C%5Ch%5E3%3D%5Cdfrac%7B360%5Cpi%7D%7B2%5Cpi%5E2%7D%3D%5Cdfrac%7B180%7D%5Cpi%7E%3B%5C%5C%5C%5Ch%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cdfrac%7B180%7D%5Cpi%7D%5Capprox+3.855%5Cmbox%7B+cm%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "a'(h)=\dfrac 1{2\sqrt{\dfrac{360+\pi h^3}{\pi h}}}\cdot\dfrac{3\pi h^2\cdot\pi h-(360+\pi h^3)\pi}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac 1{2\sqrt{\dfrac{360+\pi h^3}{\pi h}}}\cdot\dfrac{3\pi^2h^3-360\pi-\pi^2h^3}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac{\sqrt{\pi h}}{2\sqrt{360+\pi h^3}}\cdot\dfrac{2\pi^2h^3-360\pi}{(\pi h)^2}=\\\\=\dfrac{1}{2\sqrt{360+\pi h^3}}\cdot\dfrac{2\pi^2h^3-360\pi}{\sqrt{\pi h}^3}=0~;\\\\2\pi^2h^3-360\pi=0~;\\\\h^3=\dfrac{360\pi}{2\pi^2}=\dfrac{180}\pi~;\\\\h=\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi}\approx 3.855\mbox{ cm}")
Comprobemos si para esta altura h la longitud de la generatriz alcanza un mínimo estudiando la monotonía de a en un entorno de este punto crítico:
![\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi})&(\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%5Chline+x%26%280%2C%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cdfrac%7B180%7D%5Cpi%7D%29%26%28%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cdfrac%7B180%7D%5Cpi%7D%2C%2B%5Cinfty%29%5C%5C%5Chline%5Cmbox%7BSigno+%7Df%27%28x%29%26-%26%2B%5C%5C%5Chline+%5Cmbox%7BMonotonia+%7Df%28x%29%26%5Cmbox%7BDecrece%7D%26%5Cmbox%7BCrece%7D%5C%5C%5Chline%5Cend%7Barray%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi})&(\sqrt[3]{\dfrac{180}\pi},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}")
por tanto, éste valor de h hace mínima la longitud de la generatriz a.
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