Problema 433

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sean las rectas de \mathbb R^3:

r:~\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\y-2z=0\end{array}\right.\qquad s:~x+1=\dfrac{y-2}2=z-1

a) Comprobar que son paralelas.
b) Calcular la ecuación vectorial del plano que las contiene.

Solución:

a) Calculamos el vector director de r:

\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-1&0\\0&1&-2\end{vmatrix}=2\vec\imath+2\vec k+4\vec\jmath=(2,4,2)

Tomamos \vec v_r=(1,2,1) que es proporcional al anterior.
Por otro lado vemos que \vec v_s=(1,2,1), por lo que los vectores directores son paralelos.
Veamos si un punto cualquiera de s está contenido en r, por ejemplo P_s=(-1,2,1). Para ello vemos si este punto verifica las dos ecuaciones implícitas de r:

  • 2\cdot(-1)-2=-4\neq1, luego ambas rectas son paralelas.

b) Necesitamos calcular un punto P_r cualquiera de r, para ello hacemos el cambio y=0, lo sustituimos en las implícitas de r y resolvemos:

r:~\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\y-2z=0\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x=1\\-2z=0\end{array}\right.

de donde P_r=(\frac 12,0,0).

El plano buscado es \pi:~\left\{\begin{array}{l}P_s=(-1,2,1)\\\vec v_s=(1,2,1)\\\overrightarrow{P_rP_s}=(-1,2,1)-(\frac 12,0,0)=(\frac{-3}2,2,1)\end{array}\right.

\pi:~(x,y,z)=(-1,2,1)+\lambda(1,2,1)+\mu(\frac{-3}2,2,1)

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