Problema 434

Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\2x+kz=1\\x+(k+1)y+z=k^2-4\end{array}\right.

donde k es un parámetro real.

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k.
b) Resolver el sistema en el caso k=-2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&0&k\\1&k+1&1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&-1&1&0\\2&0&k&1\\1&k+1&1&k^2-4\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz M:

\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&0&k\\1&k+1&1\end{pmatrix}=-k+2(k+1)+2-k(k+1)=-k^2+4

determinante cuyas raíces son:

-k^2+4=0~;\\\\k^2=4~;\\\\k=\pm2

  • Si k≠2 y k≠-2, entonces rg M=3=rg M*=n, por lo que el sistema en este caso es compatible determinado.
  • Si k=2, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&0&2\\1&3&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\2&0\end{vmatrix}=2\neq0
    Veamos cuál es el rango de M*:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\2&0&1\\1&3&0\end{vmatrix}=-1-3=-4\neq0
    luego el sistema en este caso es incompatible ya que el rango de M* es 3.
  • Si k=-2, entonces M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\2&0\end{vmatrix}=2\neq0
    Veamos cuál es el rango de M*:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\2&0&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=-1+1=0
    luego el rango de M* es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) Resolvemos el sistema para el caso k=-2 estudiado en el apartado anterior.
El sistema original es equivalente a:

\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\2x-2z=1\end{array}\right.

Hacemos el cambio z=λ y resolvemos:

\left\{\begin{array}{l}x-y=-\lambda\\2x=1+2\lambda\end{array}\right.

de donde x=\dfrac{1+2\lambda}2 e y vale:

y=x+\lambda=\dfrac{1+2\lambda}2+\lambda=\dfrac{1+4\lambda}2

La solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1+2\lambda}2\\\\y=\dfrac{1+4\lambda}2\\\\z=\lambda\end{array}\right.

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