Problema 435

Responder a las siguientes cuestiones:

a) Comprobar que la recta tangente a la curva y=x^2 en el punto de abscisa x=2 es la recta y=4x-4 y calcular los puntos de intersección de esta recta con los ejes de coordenadas.
b) Calcular el área limitada por la curva del apartado anterior, la recta tangente en x=2 y el eje de abscisas.


Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Queremos la recta tangente a la función f(x)=x^2 en el punto x_0=2:

f(2)=2^2=4~;\\\\f'(x)=2x\longrightarrow f'(2)=2\cdot2=4

Luego la recta tangente es:

y-4=4(x-2)~;\\\\y=4x-4

como queríamos comprobar. Ahora calculamos los puntos de corte de esta recta con los ejes de coordenadas:

  • Punto de corte con el eje x: y=0
    0=4x-4\longrightarrow x=1\longrightarrow(1,0)
  • Punto de corte con el eje y: x=0
    y=4\cdot 0-4=-4\longrightarrow (0,-4)

p435b) Sabemos que f(x)=x^2 es una parábola convexa que deja siempre a sus rectas tangentes por debajo de la propia parábola y que pasa por el punto (0,0).

El área S pedida es:

\displaystyle S=\int_0^2x^2~dx-\int_1^24x-4~dx=\\\\=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^2-\left[2x^2-4x\right]_1^2=\\\\=\dfrac 83-\dfrac03-(0-(-2))=\\\\=\dfrac83-2=\dfrac23\mbox{ u.a.}

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