Responder a las siguientes cuestiones:
a) Comprobar que la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=2 es la recta
y calcular los puntos de intersección de esta recta con los ejes de coordenadas.
b) Calcular el área limitada por la curva del apartado anterior, la recta tangente en x=2 y el eje de abscisas.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto es:
Queremos la recta tangente a la función en el punto
:
Luego la recta tangente es:
como queríamos comprobar. Ahora calculamos los puntos de corte de esta recta con los ejes de coordenadas:
- Punto de corte con el eje x:
- Punto de corte con el eje y:
b) Sabemos que
es una parábola convexa que deja siempre a sus rectas tangentes por debajo de la propia parábola y que pasa por el punto (0,0).
El área S pedida es:
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