Problema 436

📖Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat IImatrices y determinantesdurán

Considerar la matriz $A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}$ .

a) Calcular las potencias $A^2,\,A^3\mbox{ y }A^6.$
b) Calcular la inversa de la matriz A⁵.

Solución:

a) Calcular las potencias $A^2,\,A^3\mbox{ y }A^6.$

$A^2=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$

$A^3=A^2A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I$

$A^6=A^3A^3=(-I)(-I)=I^2=I$

b) Calcular la inversa de la matriz A⁵.

$A^5=A^3A^2=-IA^2=-A^2=-\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}$

Para calcular su inversa utilizaremos la fórmula de la matriz inversa de cualquier matriz M:

$\boxed{M^{-1}=\dfrac 1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}$

$|A^5|=\begin{vmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{vmatrix}=-1$

$\mbox{Adj}A^5=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$

$(A^5)^{-1}=\dfrac 1{-1}\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}=A$

Una forma más rápida de obtener ese resultado es la siguiente:

– Sabemos que $A^5(A^5)^{-1}=I$
– Sabemos que $A^6=I$
– Sabemos que $A^6=A^5A$
por tanto $(A^5)^{-1}=A$

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