Problema 436

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Considerar la matriz A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}.

a) Calcular las potencias A^2,\,A^3\mbox{ y }A^6.
b) Calcular la inversa de la matriz A⁵.

Solución:

a) Calcular las potencias A^2,\,A^3\mbox{ y }A^6.

A^2=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}

A^3=A^2A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I

A^6=A^3A^3=(-I)(-I)=I^2=I

b) Calcular la inversa de la matriz A⁵.

A^5=A^3A^2=-IA^2=-A^2=-\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}

Para calcular su inversa utilizaremos la fórmula de la matriz inversa de cualquier matriz M:

\boxed{M^{-1}=\dfrac 1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}

|A^5|=\begin{vmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{vmatrix}=-1

\mbox{Adj}A^5=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}

(A^5)^{-1}=\dfrac 1{-1}\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}=A

Una forma más rápida de obtener ese resultado es la siguiente:

– Sabemos que A^5(A^5)^{-1}=I
– Sabemos que A^6=I
– Sabemos que A^6=A^5A
por tanto (A^5)^{-1}=A

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