Problema 437

Sea \begin{pmatrix}a&1&1&1\\1&a&1&a\\1&1&a&a^2\end{pmatrix} la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales.

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a, e interpretar el resultado geométricamente.
b) Para a=1, encontrar la forma paramétrica del plano solución y dar un punto y los dos vectores directores de este plano.


Solución:

a) El sistema lo discutiremos utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes M=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^3+1+1-a-a-a=a^3-3a+2

determinante cuyas raíces son a=1 y a=-2, por tanto:

  • Si a≠1 y a≠-2, entonces el rg(M*)=3=rg(M*)=n, y el sistema será compatible determinado.
  • Si a=1, la matriz M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} tiene rango 1, ya que las filas 2 y 3 son proporcionales a la primera.
    Por otro lado la matriz ampliada es M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es también 1 por el mismo motivo, luego el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=-2, M=\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix}=3\neq0
    Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&-2\\1&1&4\end{vmatrix}=9\neq0
    por lo que el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=1, encontrar la forma paramétrica del plano solución y dar un punto y los dos vectores directores de este plano.

Para a=1 dijimos en el apartado a) que solo había una fila linealmente independiente, es decir, el sistema original es equivalente a la ecuación x+y+z=1 que en geometría es la ecuación de un plano.
Obtenemos las ecuaciones paramétricas haciendo el cambio y=λ y z=μ. Sustituyendo en la implícita del plano se obtiene x=1-\lambda-\mu. Las ecuaciones paramétricas son:

\left\{\begin{array}{l}x=1-\lambda-\mu\\y=\lambda\\z=\mu\end{array}\right.

De estas ecuaciones es fácil sacar un punto del plano P=(1,0,0), y sus dos vectores directores \vec v_1=(-1,1,0)\mbox{ y }\vec v_2=(-1,0,1).

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