Problema 437

Sea $\begin{pmatrix}a&1&1&1\\1&a&1&a\\1&1&a&a^2\end{pmatrix}$ la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales.

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a, e interpretar el resultado geométricamente.
b) Para a=1, encontrar la forma paramétrica del plano solución y dar un punto y los dos vectores directores de este plano.

Solución:

a) El sistema lo discutiremos utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes $M=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^3+1+1-a-a-a=a^3-3a+2$

determinante cuyas raíces son a=1 y a=-2, por tanto:

Si a≠1 y a≠-2, entonces el rg(M*)=3=rg(M*)=n, y el sistema será compatible determinado.
Si a=1, la matriz $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ tiene rango 1, ya que las filas 2 y 3 son proporcionales a la primera.
Por otro lado la matriz ampliada es $M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es también 1 por el mismo motivo, luego el sistema es compatible indeterminado.
Si a=-2, $M=\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix}=3\neq0$
Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&-2\\1&1&4\end{vmatrix}=9\neq0$
por lo que el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) Para a=1, encontrar la forma paramétrica del plano solución y dar un punto y los dos vectores directores de este plano.

Para a=1 dijimos en el apartado a) que solo había una fila linealmente independiente, es decir, el sistema original es equivalente a la ecuación $x+y+z=1$ que en geometría es la ecuación de un plano.
Obtenemos las ecuaciones paramétricas haciendo el cambio y=λ y z=μ. Sustituyendo en la implícita del plano se obtiene $x=1-\lambda-\mu$ . Las ecuaciones paramétricas son: