Sea la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales.
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a, e interpretar el resultado geométricamente.
b) Para a=1, encontrar la forma paramétrica del plano solución y dar un punto y los dos vectores directores de este plano.
Solución:
a) El sistema lo discutiremos utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes
determinante cuyas raíces son a=1 y a=-2, por tanto:
- Si a≠1 y a≠-2, entonces el rg(M*)=3=rg(M*)=n, y el sistema será compatible determinado.
- Si a=1, la matriz
tiene rango 1, ya que las filas 2 y 3 son proporcionales a la primera.
Por otro lado la matriz ampliada escuyo rango es también 1 por el mismo motivo, luego el sistema es compatible indeterminado.
- Si a=-2,
cuyo rango es 2 ya que
Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:
por lo que el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.
b) Para a=1, encontrar la forma paramétrica del plano solución y dar un punto y los dos vectores directores de este plano.
Para a=1 dijimos en el apartado a) que solo había una fila linealmente independiente, es decir, el sistema original es equivalente a la ecuación que en geometría es la ecuación de un plano.
Obtenemos las ecuaciones paramétricas haciendo el cambio y=λ y z=μ. Sustituyendo en la implícita del plano se obtiene . Las ecuaciones paramétricas son:
De estas ecuaciones es fácil sacar un punto del plano P=(1,0,0), y sus dos vectores directores .
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