Problema 438

El croquis de abajo representa la pared de un desván con el techo inclinado, en la que se quiere construir un armario rectangular como el de la zona sombreada.

p438

a) Expresar el área del rectángulo en función de la longitud x del segmento AB.
b) Determinar las dimensiones del rectángulo si se quiere que tenga una superficie máxima y calcular esta superficie máxima.


Solución:

a) El área del rectángulo es A=base\cdot altura. La base mide 6-x. Para calcular la altura primero nos damos cuenta de que depende del segmento oblicuo. Dicho segmento tiene pendiente m=2/6 o lo que es lo mismo m=1/3, luego la altura del rectángulo es 1+\dfrac 13x=\dfrac{3+x}3. El área es por tanto:

A(x)=(6-x)\cdot\dfrac{3+x}3=\dfrac{18+6x-3x-x^2}3=\dfrac{18+3x-x^2}3


b) Sabemos que x\in[0,6]. Queremos hacer máxima el área, para ello calculamos los puntos críticos de la función área calculada anteriormente A(x):

A'(x)=\dfrac{3-2x}3=0~;\\\\3-2x=0~;\\\\x=\dfrac32

Comprobamos que este punto crítico corresponde a un máximo haciendo el test de la derivada segunda:

A''(x)=\dfrac{-2}3\longrightarrow A''(\frac32)=\dfrac{-2}3

por tanto, se trata de un máximo.

  • La base del rectángulo mide: 6-\dfrac32=\dfrac92\mbox{ m}
  • La altura del rectángulo mide: \dfrac{3+\frac32}3=\dfrac96=\dfrac32\mbox{ m}
  • El área del rectángulo es: A=\dfrac92\cdot\dfrac32=\dfrac{27}4\mbox{ m}^2

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s