Problema 439

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considerar el plano \pi:~x+y+z=1 y la recta r que pasa por los puntos P=(0,0,6) y Q=(1,2,3).

a) Estudiar la posición relativa de la recta r y del plano π.
b) Calcular la distancia entre la recta r y el plano π.

Solución:

a) Calculamos las ecuaciones paramétricas de la recta r:~\left\{\begin{array}{l}P=(0,0,6)\\\vec v_r=\overrightarrow{PQ}=(1,2,3)-(0,0,6)=(1,2,-3)\end{array}\right.

r:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2\lambda\\z=6-3\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto donde se cortan r y π, sustituyendo las paramétricas de r en la implícita de π:

\lambda+2\lambda+6-3\lambda=1~;\\\\0\lambda=-5~;\\\\0=-5

La ecuación no tiene solución. Este resultado significa que la recta y el plano no se cortan nunca, por tanto, r y π son paralelos.

b) La distancia de una recta r a un plano π cuando estos son paralelos es:

d(r,\pi)=d(P,\pi)

siendo P un punto cualquiera de r.
La distancia de un punto cualquiera P=(x_0,y_0,z_0) a un plano \pi:~Ax+By+Cz+D=0 es

\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

En nuestro caso P=(0,0,6) y \pi:~x+y+z-1=0, luego:

d(P,\pi)=\dfrac{|0+0+6-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac5{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}3\mbox{ u.l.}

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