Problema 440

Sean las matrices

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-2&1\\1&-1&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}3&4&-1\\-1&-4&3\\0&-4&4\end{pmatrix}

a) Comprobar que satisfacen la igualdad A^2-\frac12AB=I, donde I es la matriz identidad de orden 3.
b) Utilizando la igualdad anterior, determinar la matriz inversa de A.


Solución:

a) Comprobar que satisfacen la igualdad A^2-\frac12AB=I, donde I es la matriz identidad de orden 3.

A^2=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-2&1\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-2&1\\1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2&3\\1&3&-1\\2&2&1\end{pmatrix}

AB=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-2&1\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&4&-1\\-1&-4&3\\0&-4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-4&6\\2&4&-2\\4&4&0\end{pmatrix}

Luego

A^2-\frac12AB=\begin{pmatrix}2&-2&3\\1&3&-1\\2&2&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-2&3\\1&2&-1\\2&2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I


b) Utilizando la igualdad anterior, determinar la matriz inversa de A.

Dado que

A^2-\frac12AB=A(A-\frac12B)=I

y que

AA^{-1}=I

entonces

A^{-1}=A-\frac12B=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-2&1\\1&-1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac32&2&\frac{-1}2\\\frac{-1}2&-2&\frac32\\0&-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{-1}2&-1&\frac32\\\frac12&0&\frac{-1}2\\1&1&-1\end{pmatrix}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s