Problema 441

Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$\left\{\begin{array}{c}x+y+z=3\\x+y-z=1\\2x+ay=2a\end{array}\right.$

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para el caso a=2.

Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y la matriz ampliada:

$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1&1&-1&1\\2&a&0&2a\end{pmatrix}$

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{vmatrix}=-2+a-2+a=2a-4$

determinante cuya raíz es a=2, por tanto:

Si a≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
Si a=2, entonces $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&2&0\end{pmatrix}$ cuyo rango es 2 ya que $\begin{vmatrix}1&-1\\2&0\end{vmatrix}=2\neq0$ .
Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
$\begin{vmatrix}1&1&3\\1&-1&1\\2&0&4\end{vmatrix}=-4+2+6-4=0$
luego el rango de la matriz ampliada también es 2 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.