Problema 441

Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

\left\{\begin{array}{c}x+y+z=3\\x+y-z=1\\2x+ay=2a\end{array}\right.

a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema  para el caso a=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y la matriz ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\1&1&-1&1\\2&a&0&2a\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&a&0\end{vmatrix}=-2+a-2+a=2a-4

determinante cuya raíz es a=2, por tanto:

  • Si a≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=2, entonces M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&2&0\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\2&0\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&3\\1&-1&1\\2&0&4\end{vmatrix}=-4+2+6-4=0
    luego el rango de la matriz ampliada también es 2 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.

b) En el caso a=2 el sistema original es equivalente a:

\left\{\begin{array}{c}x+y-z=1\\2x+2y=4\end{array}\right.

Para resolver este sistema hacemos el cambio x=λ:

\left\{\begin{array}{c}y-z=1-\lambda\\2y=4-2\lambda\end{array}\right.

De la segunda ecuación obtenemos y=2-\lambda, y sustituyendo en la primera:

2-\lambda-z=1-\lambda~;\\\\z=1

luego, la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2-\lambda\\z=1\end{array}\right.

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