Considerar el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para el caso a=2.
Solución:
a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y la matriz ampliada:
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M:
determinante cuya raíz es a=2, por tanto:
- Si a≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si a=2, entonces
cuyo rango es 2 ya que
.
Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:
luego el rango de la matriz ampliada también es 2 y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado.
b) En el caso a=2 el sistema original es equivalente a:
Para resolver este sistema hacemos el cambio x=λ:
De la segunda ecuación obtenemos , y sustituyendo en la primera:
luego, la solución del sistema es:
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