Problema 442

📖Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat IIfuncionesdurán

De las funciones $f(x),\,f'(x),\,g(x),\,g'(x)$ , conocemos los valores siguientes

$\begin{array}{c|c|c}x&f(x)&f'(x)\\\hline0&2&1\\1&0&-6\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|c}x&g(x)&g'(x)\\\hline0&1&1\\1&3&3\end{array}$

a) De la función f se sabe que la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa x es $4x^3-9x^2-2x+1$ . Hallar $f(x).$
b) Calcular $(g\circ f)'(1).$

Solución:

a) La pendiente de la recta tangente a una función f en un punto de abscisa x es igual al valor de la derivada de dicha función en ese punto, por tanto, $f'(x)=4x^3-9x^2-2x+1$ , y podríamos calcular f simplemente integrando f´:

$\displaystyle f(x)=\int 4x^3-9x^2-2x+1~dx=x^4-3x^3-x^2+x+k$

En la tabla se observa que cuando x=0 entonces $f(x)$ toma el valor 2, es decir, $f(0)=2$ , por tanto:

$f(0)=0^4-3\cdot0^3-0^2+0+k=k=2$

luego

$f(x)=x^4-3x^3-x^2+x+2$

Además, se comprueba el otro resultado de la tabla: $f(1)=0.$

b) Calcular $(g\circ f)'(1).$

Se trata de utilizar la Regla de la cadena:

$\boxed{(g\circ f)'(x)=(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x)}$

Para x=1 observamos la tabla:

$f(1)=0~;\\\\f'(1)=-6~;\\\\g'(f(1))=g'(0)=1$

luego

$(g\circ f)'(1)=g'(f(1))\cdot f'(1)=1\cdot(-6)=-6$

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