Problema 442

De las funciones f(x),\,f'(x),\,g(x),\,g'(x), conocemos los valores siguientes

\begin{array}{c|c|c}x&f(x)&f'(x)\\\hline0&2&1\\1&0&-6\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|c}x&g(x)&g'(x)\\\hline0&1&1\\1&3&3\end{array}

a) De la función f se sabe que la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa x es 4x^3-9x^2-2x+1. Hallar f(x).
b) Calcular (g\circ f)'(1).


Solución:

a) La pendiente de la recta tangente a una función f en un punto de abscisa x es igual al valor de la derivada de dicha función en ese punto, por tanto, f'(x)=4x^3-9x^2-2x+1, y podríamos calcular f simplemente integrando f´:

\displaystyle f(x)=\int 4x^3-9x^2-2x+1~dx=x^4-3x^3-x^2+x+k

En la tabla se observa que cuando x=0 entonces f(x) toma el valor 2, es decir, f(0)=2, por tanto:

f(0)=0^4-3\cdot0^3-0^2+0+k=k=2

luego

f(x)=x^4-3x^3-x^2+x+2

Además, se comprueba el otro resultado de la tabla: f(1)=0.


b) Calcular (g\circ f)'(1).

Se trata de utilizar la Regla de la cadena:

\boxed{(g\circ f)'(x)=(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x)}

Para x=1 observamos la tabla:

f(1)=0~;\\\\f'(1)=-6~;\\\\g'(f(1))=g'(0)=1

luego

(g\circ f)'(1)=g'(f(1))\cdot f'(1)=1\cdot(-6)=-6

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