Problema 443

En \mathbb R^3, sea la recta r:\left\{\begin{array}{l}x-z=2\\2y+z=4\end{array}\right. y el punto P=(0,1,-1).

a) Calcular la ecuación general del plano π perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P.
b) Calcular el punto simétrico del punto P respecto del plano x+y+z=-3.


Solución:

a) Por ser perpendicular a la recta r, el vector normal del plano π será paralelo al vector director de la recta:

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-1\\0&2&1\end{vmatrix}=2\vec k-\vec\jmath+2\vec\imath=(2,-1,2)

luego el plano π es de la forma 2x-y+2z+D=0.
Imponemos que este plano pase por P:

2\cdot0-1+2\cdot(-1)+D=0~;\\\\-1-2+D=0~;\\\\D=3

Luego \pi:~2x-y+2z+3=0


b) Calcular el punto simétrico del punto P respecto del plano \alpha:~x+y+z=-3.

Comenzamos calculando una recta s perpendicular a este plano α que pase por P=(0,1,-1).
p120Dado que s\perp\alpha, entonces podemos considerar \vec v_s=\vec n_\alpha=(1,1,1). Tenemos ya las paramétricas de s:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=1+\lambda\\z=-1+\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto M donde la recta s corta al plano α sustituyendo las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

\lambda+1+\lambda-1+\lambda=-3~;\\\\3\lambda=-3~;\\\\\lambda=-1

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de s obtenemos el punto M=(-1,0,-2).

Por último, aplicamos la fórmula del punto medio para obtener el punto simétrico de P:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P=2(-1,0,-2)-(0,1,-1)=(-2,-1,-3)

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