Problema 443

En $\mathbb R^3$ , sea la recta $r:\left\{\begin{array}{l}x-z=2\\2y+z=4\end{array}\right.$ y el punto P=(0,1,-1).

a) Calcular la ecuación general del plano π perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P.
b) Calcular el punto simétrico del punto P respecto del plano $x+y+z=-3.$

Solución:

a) Por ser perpendicular a la recta r, el vector normal del plano π será paralelo al vector director de la recta:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-1\\0&2&1\end{vmatrix}=2\vec k-\vec\jmath+2\vec\imath=(2,-1,2)$

luego el plano π es de la forma $2x-y+2z+D=0$ .
Imponemos que este plano pase por P:

$2\cdot0-1+2\cdot(-1)+D=0~;\\\\-1-2+D=0~;\\\\D=3$

Luego $\pi:~2x-y+2z+3=0$

b) Calcular el punto simétrico del punto P respecto del plano $\alpha:~x+y+z=-3.$

Comenzamos calculando una recta s perpendicular a este plano α que pase por P=(0,1,-1).
p120 Dado que $s\perp\alpha,$ entonces podemos considerar $\vec v_s=\vec n_\alpha=(1,1,1).$ Tenemos ya las paramétricas de s: