Problema 444

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sea la función f(x)=\dfrac{\mbox{sen}x}{\cos^2x}.

a) Calcular una primitiva de la función f.
b) Calcular el área limitada por la función f y el eje de abscisas entre las abscisas x=0\mbox{ y }x=\dfrac\pi4.

Solución:

a) Calcular una primitiva de la función f.

\displaystyle\int\dfrac{\mbox{sen}x}{\cos^2x}~dx=\int\mbox{sen}x\cos^{-2}x~dx=-\int-\mbox{sen}x\cos^{-2}x~dx=\\\\=-\dfrac{\cos^{-1}x}{-1}=\dfrac1{\cos x}+k

La primitiva buscada es F(x)=\dfrac1{\cos x}+k

b) Para el cálculo del área encerrada por la función f(x)=\dfrac{\mbox{sen}x}{\cos^2x}, tenemos en cuenta en el intervalo [0,\frac\pi4] las funciones \mbox{sen}x y \cos x son mayores o iguales que 0, son continuas y el denominador no se anula, por tanto f(x)\geq0,~\forall x\in[0,\frac\pi4].
Después de lo dicho, aplicamos la regla de Barrow para encontrar el área buscada:

\displaystyle A=\int_0^{\frac\pi4}f(x)~dx=F(\frac\pi4)-F(0)=\dfrac1{\cos\frac\pi4}+k-\dfrac1{\cos0}-k=\\\\=\dfrac1{\frac1{\sqrt2}}-\dfrac11=\sqrt2-1\mbox{ u.a.}

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