Problema 445

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II,

Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\ln(1-x)}{1-x}&\mbox{si}&x<0\\\\xe^{-x}&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.

donde ln denota el logaritmo neperiano, se pide:

a) Estudiar la continuidad de f y calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x).
b) Calcular la recta tangente a la curva y=f(x) en x=2.
c) Calcular \displaystyle\int_{-1}^1f(x)~dx.

Solución:

a) La función \dfrac{\ln(1-x)}{1-x} está definida para todos los valores x<1, y en particular para x<0 donde es continua.
La función xe^{-x} está definida para todo \mathbb R y en particular para x≥0.
El único punto donde nos queda estudiar la continuidad es en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}xe^{-x}=0\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{\ln(1-x)}{1-x}=0\\\\\bullet~f(0)=0\cdot e^{-0}=0

Luego f es continua en todo \mathbb R.

Por otra parte calculamos el \displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) recordando que las indeterminación ∞/∞ la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\ln(1-x)}{1-x}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\frac{-1}{1-x}}{-1}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{1-x}=\dfrac1{\infty}=0

b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso, para x=2:

f(2)=2e^{-2}=\dfrac2{e^2}

De la función f solo nos interesa el trozo que comprende a x=2:

(xe^{-x})'=e^{-x}+xe^{-x}(-1)=e^{-x}(1-x)

luego f'(2)=e^{-2}(1-2)=\dfrac{-1}{e^2}

La recta tangente buscada es:

y-\dfrac2{e^2}=\dfrac{-1}{e^2}(x-2)~;\\\\y=\dfrac{-x+4}{e^2}

c) Calcular \displaystyle\int_{-1}^1f(x)~dx.

\displaystyle\int_{-1}^1f(x)~dx=\underbrace{\int_{-1}^0\dfrac{\ln(1-x)}{1-x}~dx}_{I_1}+\underbrace{\int_0^1xe^{-x}~dx}_{I_2}

I_1 es una integral inmediata de tipo potencial:

\displaystyle I_1=\int_{-1}^0\ln(1-x)\dfrac1{1-x}~dx=-\int_{-1}^0\ln(1-x)\dfrac{-1}{1-x}~dx=\\\\=-\left[\dfrac{\ln^2(1-x)}2\right]_{-1}^0=-\dfrac{\ln^21}2+\dfrac{\ln^22}2=\dfrac{\ln^22}2

I_2 es una integral que se realiza utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=e^{-x}~dx&\longrightarrow&v=-e^{-x}\end{array}

\displaystyle I_2=\int_0^1xe^{-x}~dx=\left[-xe^{-x}\right]_0^1-\int_0^1-e^{-x}~dx=\\\\=\left[-xe^{-x}-e^{-x}\right]_0^1=-\left[e^{-x}(x+1)\right]_0^1=\\\\=-(e^{-1}2)+1=\dfrac{e-2}e

luego

\displaystyle\int_{-1}^1f(x)~dx=\dfrac{\ln^22}2+\dfrac{e-2}e

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