Dada la función
donde ln denota el logaritmo neperiano, se pide:
a) Estudiar la continuidad de f y calcular
b) Calcular la recta tangente a la curva en x=2.
c) Calcular
Solución:
a) La función está definida para todos los valores x<1, y en particular para x<0 donde es continua.
La función está definida para todo
y en particular para x≥0.
El único punto donde nos queda estudiar la continuidad es en x=0:
Luego f es continua en todo .
Por otra parte calculamos el recordando que las indeterminación ∞/∞ la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:
b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa es:
En nuestro caso, para x=2:
De la función f solo nos interesa el trozo que comprende a x=2:
luego
La recta tangente buscada es:
c) Calcular
es una integral inmediata de tipo potencial:
es una integral que se realiza utilizando el método de integración por partes:
luego
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