Dada la función
donde ln denota el logaritmo neperiano, se pide:
a) Estudiar la continuidad de f y calcular
b) Calcular la recta tangente a la curva 
c) Calcular
Solución:
a) La función 
La función 
El único punto donde nos queda estudiar la continuidad es en x=0:
Luego f es continua en todo
Por otra parte calculamos el 
b) La ecuación de la recta tangente a una función f en el punto de abscisa 
En nuestro caso, para x=2:
De la función f solo nos interesa el trozo que comprende a x=2:
luego
La recta tangente buscada es:
c) Calcular
![\displaystyle I_1=\int_{-1}^0\ln(1-x)\dfrac1{1-x}~dx=-\int_{-1}^0\ln(1-x)\dfrac{-1}{1-x}~dx=\\\\=-\left[\dfrac{\ln^2(1-x)}2\right]_{-1}^0=-\dfrac{\ln^21}2+\dfrac{\ln^22}2=\dfrac{\ln^22}2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+I_1%3D%5Cint_%7B-1%7D%5E0%5Cln%281-x%29%5Cdfrac1%7B1-x%7D%7Edx%3D-%5Cint_%7B-1%7D%5E0%5Cln%281-x%29%5Cdfrac%7B-1%7D%7B1-x%7D%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D-%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B%5Cln%5E2%281-x%29%7D2%5Cright%5D_%7B-1%7D%5E0%3D-%5Cdfrac%7B%5Cln%5E21%7D2%2B%5Cdfrac%7B%5Cln%5E22%7D2%3D%5Cdfrac%7B%5Cln%5E22%7D2&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle I_1=\int_{-1}^0\ln(1-x)\dfrac1{1-x}~dx=-\int_{-1}^0\ln(1-x)\dfrac{-1}{1-x}~dx=\\\\=-\left[\dfrac{\ln^2(1-x)}2\right]_{-1}^0=-\dfrac{\ln^21}2+\dfrac{\ln^22}2=\dfrac{\ln^22}2")
![\displaystyle I_2=\int_0^1xe^{-x}~dx=\left[-xe^{-x}\right]_0^1-\int_0^1-e^{-x}~dx=\\\\=\left[-xe^{-x}-e^{-x}\right]_0^1=-\left[e^{-x}(x+1)\right]_0^1=\\\\=-(e^{-1}2)+1=\dfrac{e-2}e](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+I_2%3D%5Cint_0%5E1xe%5E%7B-x%7D%7Edx%3D%5Cleft%5B-xe%5E%7B-x%7D%5Cright%5D_0%5E1-%5Cint_0%5E1-e%5E%7B-x%7D%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B-xe%5E%7B-x%7D-e%5E%7B-x%7D%5Cright%5D_0%5E1%3D-%5Cleft%5Be%5E%7B-x%7D%28x%2B1%29%5Cright%5D_0%5E1%3D%5C%5C%5C%5C%3D-%28e%5E%7B-1%7D2%29%2B1%3D%5Cdfrac%7Be-2%7De&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle I_2=\int_0^1xe^{-x}~dx=\left[-xe^{-x}\right]_0^1-\int_0^1-e^{-x}~dx=\\\\=\left[-xe^{-x}-e^{-x}\right]_0^1=-\left[e^{-x}(x+1)\right]_0^1=\\\\=-(e^{-1}2)+1=\dfrac{e-2}e")
luego
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