Problema 446

a) Despeje X en la ecuación matricial X(CD)^{-1}=A+X(D^{-1}C^{-1}-B), siendo A, B, C y D matrices cuadradas invertibles. Exprese X de la forma más simple posible.

b) Para

A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&0&1\\2&1&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}

determine la matriz Y tal que YB=A.


Solución:

a) Despeje X en la ecuación matricial X(CD)^{-1}=A+X(D^{-1}C^{-1}-B), siendo A, B, C y D matrices cuadradas invertibles. Exprese X de la forma más simple posible.
(Recordamos que (CD)^{-1}=D^{-1}C^{-1})

X(CD)^{-1}=A+X(D^{-1}C^{-1}-B)~;\\\\X=[A+X(D^{-1}C^{-1}-B)]CD~;\\\\X=ACD+X((CD)^{-1}-B)CD~;\\\\X=ACD+X((CD)^{-1}(CD)-BCD)~;\\\\X=ACD+X(I-BCD)~;\\\\X-X(I-BCD)=ACD~;\\\\X(I-I+BCD)=ACD~;\\\\X(BCD)=ACD~;\\\\(XB)(CD)=A(CD)~;\mbox{ propiedad asociativa}\\\\XB=A(CD)(CD)^{-1}~;\\\\XB=A~;\\\\X=AB^{-1}


b) La matriz Y buscada es:

Y=AB^{-1}

Necesitamos calcular la matriz inversa de B, siendo

\boxed{B^{-1}=\dfrac1{|B|}(\mbox{Adj}\,B)^t}

|B|=\begin{vmatrix}1&1&-1\\-1&0&1\\1&1&1\end{vmatrix}=1+1+1-1=2

\mbox{Adj}\,B=\begin{pmatrix}-1&2&-1\\-2&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}

luego

B^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}-1&-2&1\\2&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{-1}2&-1&\frac12\\1&1&0\\\frac{-1}2&0&\frac12\end{pmatrix}

y la matriz Y es:

Y=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&0&1\\2&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{-1}2&-1&\frac12\\1&1&0\\\frac{-1}2&0&\frac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{-1}2&-2&\frac12\\-1&-1&1\\\frac{-1}2&-1&\frac32\end{pmatrix}

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