Dados los planos 
, determine, en caso de que existan, el valor o posibles valores del parámetro a, para cada uno de los siguientes supuestos:
a) Que 
sean paralelos.
b) Que sean perpendiculares.
c) Que la recta intersección de sea perpendicular al plano 
.
Solución:
a) son paralelos si son paralelos sus vectores normales 
.
Para que ambos vectores sean paralelos se debe cumplir la condición de paralelismo de vectores:
De 
resulta:
De 
resulta
de donde resulta que son paralelos si a=-1.
Además, se comprueba la última relación 
, por lo que ambos planos no pueden ser coincidentes para ningún valor de a.
b) son perpendiculares si son perpendiculares sus vectores normales 
.
Para que ambos vectores sean perpendiculares se debe cumplir la condición de perpendicularidad de vectores:
de donde a=1/2.
Luego para que sean perpendiculares ha de ser a=1/2.
c) se cortan según una recta r cuyo vector director es:
Se pide que esta recta sea perpendicular al plano 
cuyo vector normal es 
.
Si 
, entonces 
. Aplicamos la condición de paralelismo a los vectores 
:
De la primera ecuación
ecuación que se verifica para todo 
.
De la segunda ecuación
El caso a=-1 da lugar a que sean paralelos y no se corten en ninguna recta, como se vio en el apartado a). Luego, la única solución es a=1.
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