Problema 447

Dados los planos \pi_1\equiv ax+y-z+1=0\mbox{ y }\pi_2\equiv x+ay+z-2=0, determine, en caso de que existan, el valor o posibles valores del parámetro a, para cada uno de los siguientes supuestos:

a) Que \pi_1\mbox{ y }\pi_2 sean paralelos.
b) Que \pi_1\mbox{ y }\pi_2 sean perpendiculares.
c) Que la recta intersección de \pi_1\mbox{ y }\pi_2 sea perpendicular al plano x=y.


Solución:

a) \pi_1\mbox{ y }\pi_2 son paralelos si son paralelos sus vectores normales \vec n_1=(a,1,-1)\mbox{ y }\vec n_2=(1,a,1).
Para que ambos vectores sean paralelos se debe cumplir la condición de paralelismo de vectores:

\dfrac a1=\dfrac1a=\dfrac{-1}1\neq\dfrac1{-2}

De \dfrac a1=\dfrac1a resulta:

a^2=1~;\\\\a=\pm1

De \dfrac1a=\dfrac{-1}1 resulta

1=-a

de donde resulta que \pi_1\mbox{ y }\pi_2 son paralelos si a=-1.
Además, se comprueba la última relación \dfrac{-1}1\neq\dfrac1{-2}, por lo que ambos planos no pueden ser coincidentes para ningún valor de a.


b) \pi_1\mbox{ y }\pi_2 son perpendiculares si son perpendiculares sus vectores normales \vec n_1\mbox{ y }\vec n_2.
Para que ambos vectores sean perpendiculares se debe cumplir la condición de perpendicularidad de vectores:

\vec n_1\cdot\vec n_2=(a,1,-1)\cdot(1,a,1)=a+a-1=2a-1=0 de donde a=1/2.

Luego para que \pi_1\mbox{ y }\pi_2 sean perpendiculares ha de ser a=1/2.


c) \pi_1\mbox{ y }\pi_2 se cortan según una recta r cuyo vector director es:

\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\a&1&-1\\1&a&1\end{vmatrix}=\vec\imath-\vec\jmath+a^2\vec k-\vec k-a\vec\jmath+a\vec\imath=(1+a,-1-a,a^2-1)

Se pide que esta recta sea perpendicular al plano \alpha:~x-y=0 cuyo vector normal es \vec n_{\alpha}=(1,-1,0).
Si r\perp\alpha, entonces \vec v_r\parallel\vec n_\alpha. Aplicamos la condición de paralelismo a los vectores \vec v_r\mbox{ y }\vec n_\alpha:

\dfrac{1+a}1=\dfrac{-1-a}{-1}=\dfrac{a^2-1}0

De la primera ecuación

\dfrac{1+a}1=\dfrac{-1-a}{-1}~;\\\\-1-a=-1-a~;\\\\0=0

ecuación que se verifica para todo a\in\mathbb R.
De la segunda ecuación

\dfrac{-1-a}{-1}=\dfrac{a^2-1}0~;\\\\a^2-1=0~;\\\\a=\pm1

El caso a=-1 da lugar a que \pi_1\mbox{ y }\pi_2 sean paralelos y no se corten en ninguna recta, como se vio en el apartado a). Luego, la única solución es a=1.

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