Dados los planos , determine, en caso de que existan, el valor o posibles valores del parámetro a, para cada uno de los siguientes supuestos:
a) Que sean paralelos.
b) Que sean perpendiculares.
c) Que la recta intersección de sea perpendicular al plano
.
Solución:
a) son paralelos si son paralelos sus vectores normales
.
Para que ambos vectores sean paralelos se debe cumplir la condición de paralelismo de vectores:
De resulta:
De resulta
de donde resulta que son paralelos si a=-1.
Además, se comprueba la última relación , por lo que ambos planos no pueden ser coincidentes para ningún valor de a.
b) son perpendiculares si son perpendiculares sus vectores normales
.
Para que ambos vectores sean perpendiculares se debe cumplir la condición de perpendicularidad de vectores:
de donde a=1/2.
Luego para que sean perpendiculares ha de ser a=1/2.
c) se cortan según una recta r cuyo vector director es:
Se pide que esta recta sea perpendicular al plano cuyo vector normal es
.
Si , entonces
. Aplicamos la condición de paralelismo a los vectores
:
De la primera ecuación
ecuación que se verifica para todo .
De la segunda ecuación
El caso a=-1 da lugar a que sean paralelos y no se corten en ninguna recta, como se vio en el apartado a). Luego, la única solución es a=1.
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