Dado el punto P(2,1,-1), determine el punto simétrico de P respecto al plano que pasa por los puntos A(0,2,-1), B(1,-3,0) y C(2,1,1).

Solución:

Primero calculamos la ecuación general del plano α que pasa por los puntos A, B y C tomando para ello un punto cualquiera y calculando sus dos vectores directores:

Luego,

Para calcular el punto simétrico P´ de P respecto del plano α, construimos una recta r perpendicular a α que pase por P(2,1,-1).
Por ser perpendicular a α, el vector director de r será paralelo al vector normal de α, luego

La recta r es por tanto:

Calculamos el punto M donde la recta r corta al plano α, sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano :

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos las coordenadas de M(1,1,0).

El punto M es el punto medio entre el punto P y su simétrico con respecto al plano α, luego:

$latex M=\dfrac{P+P’}2~;\\\\P’=2M-P=(2,2,0)-(2,1,-1)~;\\\\P’=(0,1,1)$

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