Problema 448

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Dado el punto P(2,1,-1), determine el punto simétrico de P respecto al plano que pasa por los puntos A(0,2,-1), B(1,-3,0) y C(2,1,1).

Solución:

Primero calculamos la ecuación general del plano α que pasa por los puntos A, B y C tomando para ello un punto cualquiera y calculando sus dos vectores directores:

\alpha:~\left\{\begin{array}{l}A=(0,2,-1)\\\overrightarrow{AB}=(1,-3,0)-(0,2,-1)=(1,-5,1)\\\overrightarrow{AC}=(2,1,1)-(0,2,-1)=(2,-1,2)\end{array}\right.

\begin{vmatrix}x&y-2&z+1\\1&-5&1\\2&-1&2\end{vmatrix}=x(-10+1)+(y-2)(2-2)+(z+1)(-1+10)=-9x+9z+9=0

Luego, \alpha:~-x+z+1=0

p120Para calcular el punto simétrico P´ de P respecto del plano α, construimos una recta r perpendicular a α que pase por P(2,1,-1).
Por ser perpendicular a α, el vector director de r será paralelo al vector normal de α, luego

\vec v_r=\vec n_\alpha=(-1,0,1)

La recta r es por tanto:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda\\y=1\\z=-1+\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto M donde la recta r corta al plano α, sustituyendo las paramétricas de r en la implícita del plano \alpha:~-x+z+1=0:

-(2-\lambda)+(-1+\lambda)+1=0~;\\\\-2+\lambda-1+\lambda+1=0~;\\\\2\lambda=2~;\\\\\lambda=1

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos las coordenadas de M(1,1,0).

El punto M es el punto medio entre el punto P y su simétrico con respecto al plano α, luego:

$latex M=\dfrac{P+P’}2~;\\\\P’=2M-P=(2,2,0)-(2,1,-1)~;\\\\P’=(0,1,1)$

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