Problema 449

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

\left\{\begin{array}{rl}3x+y+mz&=1\\x-y+2z&=-2\\5x+(m+1)y+2z&=4\end{array}\right.

se pide:

a) Discutirlo según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo en el caso m=0.
c) Resolverlo en el caso m=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}3&1&m\\1&-1&2\\5&m+1&2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}3&1&m&1\\1&-1&2&-2\\5&m+1&2&4\end{pmatrix}

Veamos bajo qué condiciones el rango de M es 3:

\begin{vmatrix}3&1&m\\1&-1&2\\5&m+1&2\end{vmatrix}=-6+10+m(m+1)+5m-2-6(m+1)=\\\\=4+m^2+m+5m-2-6m-6=m^2-4

determinante cuyas raíces son m=±2.

  • Si m≠2 y m≠-2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
  • Si m=2, entonces M=\begin{pmatrix}3&1&2\\1&-1&2\\5&3&2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}3&1\\1&-1\end{vmatrix}=-4\neq0
    Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}3&1&1\\1&-1&-2\\5&3&4\end{vmatrix}=-12-10+3+5-4+18=0
    Por tanto, el rango de M* es también 2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=-2, entonces M=\begin{pmatrix}3&1&-2\\1&-1&2\\5&-1&2\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}3&1\\1&-1\end{vmatrix}=-4\neq0
    Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}3&1&1\\1&-1&-2\\5&-1&4\end{vmatrix}=-12-10-1+5-4-6=-28\neq0
    Luego el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.

b) En el caso m=0, el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado anterior. Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer. Sean las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}3&1&0\\1&-1&2\\5&1&2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}3&1&0&1\\1&-1&2&-2\\5&1&2&4\end{pmatrix}

x=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&0\\-2&-1&2\\4&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1&0\\1&-1&2\\5&1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-2+8+4-2}{-4}=-2

y=\dfrac{\begin{vmatrix}3&1&0\\1&-2&2\\5&4&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1&0\\1&-1&2\\5&1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-12+10-2-24}{-4}=\dfrac{-28}{-4}=7

z=\dfrac{\begin{vmatrix}3&1&1\\1&-1&-2\\5&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1&0\\1&-1&2\\5&1&2\end{vmatrix}}=\dfrac{-12-10+1+5-4+6}{-4}=\dfrac{-14}{-4}=\dfrac72


c) En el caso m=2, el sistema es compatible indeterminado ya que los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, como se vio anteriormente.
El sistema equivalente el original es:

\left\{\begin{array}{rl}3x+y+2z&=1\\x-y+2z&=-2\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{rl}3x+y&=1-2\lambda\\x-y&=-2-2\lambda\end{array}\right.

Si sumamos ambas ecuaciones resulta:

4x=-1-4\lambda~;\\\\x=\dfrac{-1-4\lambda}4

y sustituyendo en la primera ecuación:

3\dfrac{-1-4\lambda}4+y=1-2\lambda~;\\\\y=\dfrac{4-8\lambda+3+12\lambda}4=\dfrac{7+4\lambda}4

Es decir, la solución del sistema es: (x,y,z)=(\frac{-1-4\lambda}4,\frac{7+4\lambda}4,\lambda)

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