Dado el sistema de ecuaciones lineales:
se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo en el caso m=0.
c) Resolverlo en el caso m=2.
Solución:
a) Para discutir el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:
Veamos bajo qué condiciones el rango de M es 3:
determinante cuyas raíces son m=±2.
- Si m≠2 y m≠-2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
- Si m=2, entonces
cuyo rango es 2 ya que
Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rango de M* es también 2 y el sistema es compatible indeterminado. - Si m=-2, entonces
cuyo rango es 2 ya que
Veamos cuál es el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.
b) En el caso m=0, el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado anterior. Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer. Sean las matrices de coeficientes y ampliada:
c) En el caso m=2, el sistema es compatible indeterminado ya que los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada es 2, como se vio anteriormente.
El sistema equivalente el original es:
Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:
Si sumamos ambas ecuaciones resulta:
y sustituyendo en la primera ecuación:
Es decir, la solución del sistema es:
♦