Se consideran los puntos A(0,5,3), B(0,6,4), C(2,4,2) y D(2,3,1) y se pide:
a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono ABCD es un paralelogramo.
b) Calcular el área de dicho paralelogramo.
c) Determinar el lugar geométrico de los puntos P cuya proyección sobre el plano ABCD es el punto medio del paralelogramo.
Solución:
a) Los cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores
también los son.
Estos tres vectores son coplanarios si uno de los vectores es combinación lineal de los otros dos, o lo que es lo mismo, la matriz formada con los tres vectores tiene rango 2:
Luego, el rango de la matriz formada por los tres vectores es 2 y, esto significa que los cuatro puntos son coplanarios.
Por otra parte, los cuatro puntos forman un paralelogramo si
, siendo:
Recordamos la condición de paralelismo de vectores:
✔️ luego son paralelos.
✔️ luego son paralelos.
Por tanto, el polígono ABCD es un paralelogramo.
b) El área S del paralelogramo ABCD es:
luego
c) Suponiendo que los cuatro puntos ABCD son correlativos, el punto medio de A y C, y el punto medio de B y D deberían ser el mismo, y ese punto será el punto medio del paralelogramo. Lo comprobamos:
Luego el punto medio del paralelogramo es
El lugar geométrico de los puntos cuya proyección sobre el plano ABCD es el punto medio del paralelogramo es una recta perpendicular a dicho plano y que pasa por M.
El vector director de dicha recta r es:
En forma vectorial, la recta buscada es:
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