Problema 450

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II,

Se consideran los puntos A(0,5,3), B(0,6,4), C(2,4,2) y D(2,3,1) y se pide:

a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono ABCD es un paralelogramo.
b) Calcular el área de dicho paralelogramo.
c) Determinar el lugar geométrico de los puntos P cuya proyección sobre el plano ABCD es el punto medio del paralelogramo.

Solución:

p88a) Los cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD} también los son.

\overrightarrow{AB}=(0,6,4)-(0,5,3)=(0,1,1)\\\overrightarrow{AC}=(2,4,2)-(0,5,3)=(2,-1,-1)\\\overrightarrow{AD}=(2,3,1)-(0,5,3)=(2,-2,-2)

Estos tres vectores son coplanarios si uno de los vectores es combinación lineal de los otros dos, o lo que es lo mismo, la matriz formada con los tres vectores tiene rango 2:

\begin{vmatrix}0&1&1\\2&-1&-1\\2&-2&-2\end{vmatrix}=-2-4+2+4=0\\\\\begin{vmatrix}0&1\\2&-1\end{vmatrix}-2\neq0

Luego, el rango de la matriz formada por los tres vectores es 2 y, esto significa que los cuatro puntos son coplanarios.

Por otra parte, los cuatro puntos forman un paralelogramo si
\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD}\mbox{ y }\overrightarrow{AD}\parallel\overrightarrow{BC}, siendo:

\overrightarrow{CD}=(2,3,1)-(2,4,2)=(0,-1,-1)\\\overrightarrow{BC}=(2,4,2)-(0,6,4)=(2,-2,-2)

Recordamos la condición de paralelismo de vectores:

  • \overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD}\longrightarrow\dfrac00=\dfrac1{-1}=\dfrac1{-1} ✔️ luego son paralelos.
  • \overrightarrow{AD}\parallel\overrightarrow{BC}\longrightarrow\dfrac22=\dfrac{-2}{-2}=\dfrac{-2}{-2} ✔️ luego son paralelos.

Por tanto, el polígono ABCD es un paralelogramo.

b) El área S del paralelogramo ABCD es:

S=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&1&1\\2&-2&-2\end{vmatrix}=-2\vec\imath+2\vec\jmath-2\vec k+2\vec\imath=(0,2,-2)

luego

S=|(0,2,-2)|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt8=2\sqrt2\mbox{ u.a.}

c) Suponiendo que los cuatro puntos ABCD son correlativos, el punto medio de A y C, y el punto medio de B y D deberían ser el mismo, y ese punto será el punto medio del paralelogramo. Lo comprobamos:

M_1=\dfrac{A+C}2=\dfrac{(0,5,3)+(2,4,2)}2=\dfrac{(2,9,5)}2=(1,\frac92,\frac52)\\M_2=\dfrac{B+D}2=\dfrac{(0,6,4)+(2,3,1)}2=\dfrac{(2,9,5)}2=(1,\frac92,\frac52)

Luego el punto medio del paralelogramo es M=(1,\frac92,\frac52)

El lugar geométrico de los puntos cuya proyección sobre el plano ABCD es el punto medio del paralelogramo es una recta perpendicular a dicho plano y que pasa por M.
El vector director de dicha recta r es:

\vec v_r=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(0,2,-2)

En forma vectorial, la recta buscada es:

r:~(x,y,z)=(1,\frac92,\frac52)+\lambda(0,2,-2)

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