Problema 451

a) Determine el polinomio f, sabiendo que f'''(x)=12, para todo x\in\mathbb R y además verifica: f(1)=3;\quad f'(1)=1;\quad f''(1)=4.

b) Determine el polinomio g, sabiendo que g''(x)=6, para todo x\in\mathbb R y que ademas verifica:

\displaystyle\int_0^1g(x)~dx=5,\qquad\int_0^2g(x)~dx=14


Solución:

a) Sabemos que f'''(x)=12, luego

\displaystyle f''(x)=\int12~dx=12x+k_2

Dado que f''(1)=4, entonces:

f''(1)=12\cdot 1+k_2=4~;\\\\k_2=-8

luego f''(x)=12x-8. Calculamos ahora f'(x):

\displaystyle f'(x)=\int 12x-8~dx=6x^2-8x+k_1

Como f'(1)=1, entonces:

f'(1)=6-8+k_1=1~;\\\\k_1=3

luego f'(x)=6x^2-8x+3. Podemos calcular ya f(x):

\displaystyle f(x)=\int 6x^2-8x+3~dx=2x^3-4x^2+3x+k_0

Dado que f(1)=3, entonces

f(1)=2-4+3+k_0=1+k_0=3~;\\\\k_0=2

luego f(x)=2x^3-4x^2+3x+2.


b) Sabemos que g''(x)=6, luego

\displaystyle g'(x)=\int 6~dx=6x+k_1\\\\g(x)=\int 6x+k_1~dx=3x^2+k_1x+k_0

Sabemos que \displaystyle\int_0^1g(x)~dx=5:

\displaystyle\int_0^13x^2+k_1x+k_0~dx=\left[x^3+\dfrac{k_1x^2}2+k_0x\right]_0^1=1+\dfrac{k_1}2+k_0=\underbrace{\dfrac{2+k_1+2k_0}2=5}_{(1)}

También sabemos que \displaystyle\int_0^2g(x)~dx=14:

\displaystyle\int_0^23x^2+k_1x+k_0~dx=\left[x^3+\dfrac{k_1x^2}2+k_0x\right]_0^2=\underbrace{8+2k_1+2k_0=14}_{(2)}

Uniendo las dos ecuaciones (1) y (2) obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución es:

\left\{\begin{array}{l}\dfrac{2+k_1+2k_0}2=5\\\\8+2k_1+2k_0=14\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}k_1+2k_0=8\\2k_1+2k_0=6\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}k_1+2k_0=8\\k_1+k_0=3\end{array}\right.

En el último sistema, si a la primera ecuación le restamos la segunda resulta: k_0=5. Y por tanto, k_1=-2

La función buscada es g(x)=3x^2-2x+5.

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