Problema 452

Estudie la continuidad y la derivabilidad en x=0 y en x=1 de

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\mbox{si}&x\leq0\\|x\ln x|&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

donde ln denota el logaritmo neperiano.


Solución:

Tenemos una función a trozos que a su vez incluye una función en valor absoluto.
Descomponemos esta función en valor absoluto en una función a trozos:

|x\ln x|=\left\{\begin{array}{ccc}x\ln x&\mbox{si}&x\ln x\geq0\\-x\ln x&\mbox{si}&x\ln x<0\end{array}\right.

Calculamos las raíces de x\ln x:

x\ln x=0\\\\x=0\\\ln x=0\longrightarrow x=1

Dado que f define a la función |x\ln x| para valores mayores que 0, entonces

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline x\ln x&-&+\\\hline\end{array}

luego

|x\ln x|=\left\{\begin{array}{ccc}x\ln x&\mbox{si}&x\geq1\\-x\ln x&\mbox{si}&0<x<1\end{array}\right.

y la función f es, por tanto:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\mbox{si}&x\leq0\\-x\ln x&\mbox{si}&0<x<1\\x\ln x&\mbox{si}&x\geq1\end{array}\right.

y su función derivada es:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\mbox{si}&x<0\\-1-\ln x&\mbox{si}&0<x<1\\1+\ln x&\mbox{si}&x>1\end{array}\right.

  • Continuidad en x=0.
    \displaystyle\circ~\lim_{x\rightarrow0^+}-x\ln x=0\cdot\infty=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-\ln x}{\frac1x}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-\frac1x}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0^+}x=0\\\\\circ~\lim_{x\rightarrow0^-}0=0\\\\\circ~f(0)=0
    Luego f es continua en x=0.
  • Derivabilidad en x=0.
    \displaystyle\circ~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}-1-\ln x=+\infty\\\\\circ~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}0=0
    Luego f no es derivable en x=0.
  • Continuidad en x=1.
    \displaystyle\circ~\lim_{x\rightarrow1^+}x\ln x=0\\\\\circ~\lim_{x\rightarrow1^-}-x\ln x=0\\\\\circ~f(1)=1\cdot\ln1=0
    Luego f es continua en x=1.
  • Derivabilidad en x=1.
    \displaystyle\circ~f'(1^+)=\lim_{x\rightarrow1^+}1+\ln x=1\\\\f'(1^-)=\lim_{x\rightarrow1^-}-1-\ln x=-1
    Luego f tampoco es derivable en x=1.

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