Dada la función , se pide:
a) Determinar su dominio, asíntotas y cortes con los ejes.
b) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.
c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva en el punto x=0.
Solución:
a) El dominio de f es ya que se trata del producto de una función polinómica
y una exponencial cuyo exponente es otra polinómica.
Dado que las polinómicas son continuas en todo su dominio, entonces f es continua en todo , y como consecuencia no tiene asíntota vertical.
- Asíntota horizontal.
Luego, para x→-∞, f se aproxima asintóticamente a la recta y=0. - Asíntota oblicua.
Luego, f no tiene asíntota oblicua.
Ahora calculamos los puntos de corte con los ejes.
- Puntos de cortes con el eje x:
Ecuación cuya única solución es x=6 ya que las exponenciales nunca se anulan: (6,0) - Punto de corte con el eje y:
f corta al eje y en (0,6).
b) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.
Para estudiar la monotonía de f primero calculamos sus puntos críticos.
ecuación cuya única solución es x=3.
Observamos un máximo en .
c) Calculamos en primer lugar la recta tangente a f en el punto x=0 con la fórmula:
luego, la ecuación de la recta tangente es:
Calculamos los puntos de corte de esta recta con los ejes:
- Punto de corte con el eje x:
En el punto (-6,0) - Punto de corte con el eje y:
En el punto (0,6)
Se forma un triángulo cuya base b mide 6 y cuya altura h también mide 6. El área del triángulo es entonces .
Se puede calcular el área de dicho triángulo utilizando el cálculo integral:
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