Problema 453

Dada la función $f(x)=(6-x)e^{x/3}$ , se pide:

a) Determinar su dominio, asíntotas y cortes con los ejes.
b) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.
c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto x=0.

Solución:

a) El dominio de f es $\mathbb R$ ya que se trata del producto de una función polinómica $6-x$ y una exponencial cuyo exponente es otra polinómica.

Dado que las polinómicas son continuas en todo su dominio, entonces f es continua en todo $\mathbb R$ , y como consecuencia no tiene asíntota vertical.

Asíntota horizontal.
$\displaystyle\circ\lim_{x\rightarrow+\infty}(6-x)e^{x/3}=(-\infty)(+\infty)=-\infty\\\\\circ\lim_{x\rightarrow-\infty}(6-x)e^{x/3}=\underbrace{(+\infty)0}_{\mbox{Ind}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{6-x}{e^{-x/3}}=\underbrace{\dfrac{+\infty}{+\infty}}_{\mbox{Ind}}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-1}{\frac{-e^{-x/3}}3}=\frac{-1}{-\infty}=0$
Luego, para x→-∞, f se aproxima asintóticamente a la recta y=0.
Asíntota oblicua.
$\displaystyle\circ\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(6-x)e^{x/3}}x=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-e^{x/3}+(6-x)\frac{e^{x/3}}3}1=\dfrac{-\infty}1=-\infty$
Luego, f no tiene asíntota oblicua.

Ahora calculamos los puntos de corte con los ejes.

Puntos de cortes con el eje x: $f(x)=0$
$(6-x)e^{x/3}=0$
Ecuación cuya única solución es x=6 ya que las exponenciales nunca se anulan: (6,0)
Punto de corte con el eje y: $x=0$
$f(0)=(6-0)e^0=6$
f corta al eje y en (0,6).

b) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.

$f'(x)=-e^{x/3}+(6-x)\dfrac{e^{x/3}}3=\dfrac{e^{x/3}}3(3-x)$

Para estudiar la monotonía de f primero calculamos sus puntos críticos.

$\dfrac{e^{x/3}}3(3-x)=0$

ecuación cuya única solución es x=3.

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}$