Problema 453

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat II

Dada la función f(x)=(6-x)e^{x/3}, se pide:

a) Determinar su dominio, asíntotas y cortes con los ejes.
b) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.
c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva y=f(x) en el punto x=0.

Solución:

a) El dominio de f es \mathbb R ya que se trata del producto de una función polinómica 6-x y una exponencial cuyo exponente es otra polinómica.

Dado que las polinómicas son continuas en todo su dominio, entonces f es continua en todo \mathbb R, y como consecuencia no tiene asíntota vertical.

  • Asíntota horizontal.
    \displaystyle\circ\lim_{x\rightarrow+\infty}(6-x)e^{x/3}=(-\infty)(+\infty)=-\infty\\\\\circ\lim_{x\rightarrow-\infty}(6-x)e^{x/3}=\underbrace{(+\infty)0}_{\mbox{Ind}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{6-x}{e^{-x/3}}=\underbrace{\dfrac{+\infty}{+\infty}}_{\mbox{Ind}}=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-1}{\frac{-e^{-x/3}}3}=\frac{-1}{-\infty}=0
    Luego, para x→-∞, f se aproxima asintóticamente a la recta y=0.
  • Asíntota oblicua.
    \displaystyle\circ\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(6-x)e^{x/3}}x=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-e^{x/3}+(6-x)\frac{e^{x/3}}3}1=\dfrac{-\infty}1=-\infty
    Luego, f no tiene asíntota oblicua.

Ahora calculamos los puntos de corte con los ejes.

  • Puntos de cortes con el eje x: f(x)=0
    (6-x)e^{x/3}=0
    Ecuación cuya única solución es x=6 ya que las exponenciales nunca se anulan: (6,0)
  • Punto de corte con el eje y: x=0
    f(0)=(6-0)e^0=6
    f corta al eje y en (0,6).

b) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.

f'(x)=-e^{x/3}+(6-x)\dfrac{e^{x/3}}3=\dfrac{e^{x/3}}3(3-x)

Para estudiar la monotonía de f primero calculamos sus puntos críticos.

\dfrac{e^{x/3}}3(3-x)=0

ecuación cuya única solución es x=3.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,3)&(3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Observamos un máximo en x=3,\,y=f(3)=(6-3)e^{3/3}=3e.

c) Calculamos en primer lugar la recta tangente a f en el punto x=0 con la fórmula:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

f(0)=6\\f'(0)=\dfrac{e^{0/3}}3(3-0)=1

luego, la ecuación de la recta tangente es:

y-6=1(x-0)~;\\\\y=x+6

Calculamos los puntos de corte de esta recta con los ejes:

  • Punto de corte con el eje x: y=0
    0=x+6\rightarrow x=-6
    En el punto (-6,0)
  • Punto de corte con el eje y: x=0
    y=0+6
    En el punto (0,6)

Se forma un triángulo cuya base b mide 6 y cuya altura h también mide 6. El área del triángulo es entonces A=\dfrac{b\cdot h}2=18\mbox{ u.a.}.

Se puede calcular el área de dicho triángulo utilizando el cálculo integral:

\displaystyle A=\int_{-6}^0x+6~dx=\left[\dfrac{x^2}2+6x\right]_{-6}^0=(0)-\left(\dfrac{(-6)^2}2+6(-6)\right)=18\mbox{ u.a.}

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