Dadas las rectas
se pide:
a) Obtener la recta que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a r.
b) Obtener el plano que contiene a la recta r y es paralelo a s.
c) Hallar la distancia entre las rectas r y s.
Solución:
a) Construimos un plano α perpendicular a r que pase por P.
A partir de las implícitas de r obtenemos el vector normal de α:
que además es el vector director de r:
Imponemos que el plano α pase por P:
Luego, el plano α es:
Calculamos el punto de corte Q entre α y r. Para ello obtenemos las paramétricas de r de la cual ya tenemos su vector director, solo queda obtener un punto cualquiera de r.
Haciendo en las implícitas de r el cambio z=0 se obtiene 
Sustituimos en la implícita de α:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto Q=(3,0,1).
La recta que buscamos pasa por P(1,0,5)y tiene por vector director 
b) Obtener el plano que contiene a la recta r y es paralelo a s.
El plano β buscado está formado por 
c) Hallar la distancia entre las rectas r y s.
Dado que ambas rectas no son paralelas ya que sus vectores directores no cumplen la condición de paralelismo,
utilizaremos la fórmula de la distancia para dos rectas que se cruzan.
![\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{QP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cboxed%7Bd%28r%2Cs%29%3D%5Cdfrac%7B%7C%5B%5Cvec+v_r%2C%5Cvec+v_s%2C%5Coverrightarrow%7BQP_s%7D%5D%7C%7D%7B%7C%5Cvec+v_r%5Ctimes%5Cvec+v_s%7C%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{QP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}")
siendo 
![[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{QP_s}]=\begin{vmatrix}2&-3&1\\1&-3&1\\-1&1&-1\end{vmatrix}=6+3+1-3-3-2=2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B%5Cvec+v_r%2C%5Cvec+v_s%2C%5Coverrightarrow%7BQP_s%7D%5D%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D2%26-3%261%5C%5C1%26-3%261%5C%5C-1%261%26-1%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D6%2B3%2B1-3-3-2%3D2&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{QP_s}]=\begin{vmatrix}2&-3&1\\1&-3&1\\-1&1&-1\end{vmatrix}=6+3+1-3-3-2=2")
Luego, la distancia es:
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