Dadas las rectas
se pide:
a) Obtener la recta que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a r.
b) Obtener el plano que contiene a la recta r y es paralelo a s.
c) Hallar la distancia entre las rectas r y s.
Solución:
a) Construimos un plano α perpendicular a r que pase por P.
A partir de las implícitas de r obtenemos el vector normal de α:
que además es el vector director de r:
Imponemos que el plano α pase por P:
Luego, el plano α es:
Calculamos el punto de corte Q entre α y r. Para ello obtenemos las paramétricas de r de la cual ya tenemos su vector director, solo queda obtener un punto cualquiera de r.
Haciendo en las implícitas de r el cambio z=0 se obtiene . Luego las paramétricas de r son:
Sustituimos en la implícita de α:
Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto Q=(3,0,1).
La recta que buscamos pasa por P(1,0,5)y tiene por vector director . Es por tanto:
b) Obtener el plano que contiene a la recta r y es paralelo a s.
El plano β buscado está formado por , luego el plano β es:
c) Hallar la distancia entre las rectas r y s.
Dado que ambas rectas no son paralelas ya que sus vectores directores no cumplen la condición de paralelismo,
→falso
utilizaremos la fórmula de la distancia para dos rectas que se cruzan.
siendo un punto cualquiera de la recta s.
Luego, la distancia es:
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