Problema 454

Dadas las rectas

r\equiv\left\{\begin{array}{cc}x-2z-1&=0\\x+y+z-4&=0\end{array}\right.\qquad s\equiv\{(2+\lambda,1-3\lambda,\lambda);\lambda\in\mathbb R\}

se pide:

a) Obtener la recta que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a r.
b) Obtener el plano que contiene a la recta r y es paralelo a s.
c) Hallar la distancia entre las rectas r y s.


Solución:

a) Construimos un plano α perpendicular a r que pase por P.
A partir de las implícitas de r obtenemos el vector normal de α:

\vec n_\alpha=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-2\\1&1&1\end{vmatrix}=-2\vec\jmath+\vec k-\vec\jmath+2\vec\imath=(2,-3,1)

que además es el vector director de r: \vec v_r=(2,-3,1)
Imponemos que el plano α pase por P:

2x-3y+z+D=0~;\\\\2\cdot1-3\cdot0+5+D=0~;\\\\2+5+D=0~;\\\\D=-7

p454Luego, el plano α es: 2x-3y+z-7=0

Calculamos el punto de corte Q entre α y r. Para ello obtenemos las paramétricas de r de la cual ya tenemos su vector director, solo queda obtener un punto cualquiera de r.
Haciendo en las implícitas de r el cambio z=0 se obtiene (x,y,z)=(1,3,0). Luego las paramétricas de r son:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=3-3\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Sustituimos en la implícita de α:

2\cdot(1+2\lambda)-3(3-3\lambda)+\lambda-7=0~;\\\\2+4\lambda-9+9\lambda+\lambda=7~;\\\\14\lambda=14~;\\\\\lambda=1

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de r obtenemos el punto Q=(3,0,1).

La recta que buscamos pasa por P(1,0,5)y tiene por vector director \overrightarrow{PQ}=(3,0,1)-(1,0,5)=(2,0,-4). Es por tanto:

\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=0\\z=5-4\lambda\end{array}\right.


b) Obtener el plano que contiene a la recta r y es paralelo a s.

El plano β buscado está formado por \beta:~\left\{\begin{array}{l}Q=(3,0,1)\\\vec v_r=(2,-3,1)\\\vec v_s=(1,-3,1)\end{array}\right., luego el plano β es:

\beta:~(x,y,z)=(3,0,1)+\lambda(2,-3,1)+\mu(1,-3,1)


c) Hallar la distancia entre las rectas r y s.

Dado que ambas rectas no son paralelas ya que sus vectores directores no cumplen la condición de paralelismo,

\dfrac21=\dfrac{-3}{-3}=\dfrac11→falso

utilizaremos la fórmula de la distancia para dos rectas que se cruzan.

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{QP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

siendo P_s=(2,1,0) un punto cualquiera de la recta s.

\overrightarrow{QP_s}=(2,1,0)-(3,0,1)=(-1,1,-1)

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{QP_s}]=\begin{vmatrix}2&-3&1\\1&-3&1\\-1&1&-1\end{vmatrix}=6+3+1-3-3-2=2

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&-3&1\\1&-3&1\end{vmatrix}=-3\vec\imath+\vec\jmath-6\vec k+3\vec k-2\vec\jmath+3\vec\imath=(0,-1,-3)

Luego, la distancia es:

d(r,s)=\dfrac{|2|}{|(0,-1,-3)|}=\dfrac2{\sqrt{0^2+(-1)^2+(-3)^2}}=\dfrac2{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}5\mbox{ u.l.}

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