Problema 455

a) Determine, si es posible, los parámetros α y β de modo que se verifique la igualdad:

\alpha\begin{pmatrix}3&-4\\5&-1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}3&-8\\-2&-5\end{pmatrix}

b) Determine los posibles valores de λ para que el rango de la matriz A sea 2, donde

A=\lambda\begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}


Solución:

a) En primer lugar calculamos \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}^2:

\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}

Veamos si existe α y β de modo que se verifique la igualdad:

\alpha\begin{pmatrix}3&-4\\5&-1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-8\\-2&-5\end{pmatrix}

Esto es equivalente a resolver el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}3\alpha+\beta=3\\-4\alpha=-8\\5\alpha+4\beta=-2\\-\alpha+\beta=-5\end{array}\right.

De la segunda ecuación obtenemos α=2. Sustituyendo en la cuarta ecuación obtenemos β=-3.
Esta solución obtenida con la segunda y cuarta ecuación se confirman en la primera y tercera ecuación, por tanto esos valores de α y β verifican la igualdad del enunciado.


b) La matriz A es \begin{pmatrix}2\lambda+1&2\lambda\\\lambda&3\lambda+1\end{pmatrix}. Su rango será 2 siempre que su determinante sea distinto de 0. Calculamos dicho determinante:

\begin{vmatrix}2\lambda+1&2\lambda\\\lambda&3\lambda+1\end{vmatrix}=(2\lambda+1)(3\lambda+1)-2\lambda^2=6\lambda^2+2\lambda+3\lambda+1-2\lambda^2=4\lambda^2+5\lambda+1

determinante cuyas raíces son \lambda=\frac{-1}4\mbox{ y }\lambda=-1, por tanto, para que el rango de A sea 2, ha de ser \lambda\neq\frac{-1}4\mbox{ y }\lambda\neq-1.

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