Problema 456

Cierta fundación ha destinado 247000 euros para la dotación de 115 becas de estudios. El importe de cada beca es de 3000 euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de 2000 euros, si cursa formación profesional y de 1500 euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundación ha concedido doble número de becas de formación profesional que de postgrado, ¿cuántas becas ha concedido a cada nivel de estudios?


Solución:

Sea x el número de becas concedidas a estudiantes universitarios, y el número de becas concedidas a estudiantes de formación profesional y z el número de becas concedidas a estudiantes de postgrado.
En total hay 115 becas de estudios:

x+y+z=115

Atendiendo al importe de las becas:

3000x+2000y+1500z=247000

dividiendo entre 500, se tiene la ecuación equivalente 6x+4y+3z=494.
Por último, hay el doble número de becas de formación profesional que de postgrado, es decir, y=2z.

Con todas estas ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{cc}x+y+z&=115\\6x+4y+3z&=494\\y-2z&=0\end{array}\right.

Obtenemos las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&1&1\\6&4&3\\0&1&-2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&1&115\\6&4&3&494\\0&1&-2&0\end{pmatrix}

Comprobamos que el sistema sea compatible determinado calculando el determinante de la matriz de coeficientes M:

|M|=\begin{vmatrix}1&1&1\\6&4&3\\0&1&-2\end{vmatrix}=-8+6+12-3=7\neq0

Por tanto, según se explica aquí, el sistema es compatible determinado.

Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}115&1&1\\494&4&3\\0&1&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\6&4&3\\0&1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-920+494+988-345}7=\dfrac{217}7=31

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&115&1\\6&494&3\\0&0&-2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\6&4&3\\0&1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{-988+1380}7=\dfrac{392}7=56

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&115\\6&4&494\\0&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\6&4&3\\0&1&-2\end{vmatrix}}=\dfrac{690-494}7=\dfrac{196}7=28

Luego, han sido concedidas 31 becas universitarias, 56 becas de formación profesional y 28 becas de postgrado.

Más problemas de sistemas de ecuaciones.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s